Giải mục 3 trang 28, 29, 30

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 30 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

b) $y = \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

c) $y = \frac{5 + x}{2 - x}$ .

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số.

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số.

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Tập xác định: $D = R ∖ {1}$

Chiều biến thiên:

$y^{'} = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} \leq 0 \forall x \in D$ nên hàm số nghịch biến trên D

Tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1$ nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$lim_{x \to 1^{+}} y = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x + 1}{x - 1} = + \infty; lim_{x \to 1^{-}} y = lim_{x \to 1^{-}} \frac{x + 1}{x - 1} = - \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -1 nên (0; -1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow \frac{x + 1}{x - 1} = 0 \Leftrightarrow x = - 1$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)

b) $y = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Tập xác định: $D = R ∖ {\frac{1}{3}}$

Chiều biến thiên:

$y^{'} = \frac{- 2}{{(3 x - 1)}^{2}} \leq 0 \forall x \in D$ nên hàm số nghịch biến trên D

Tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{3 x - 1} = \frac{2}{3}; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{3 x - 1} = \frac{2}{3}$ nên y = $\frac{2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$lim_{x \to {\frac{1}{3}}^{+}} y = lim_{x \to {\frac{1}{3}}^{+}} \frac{2 x}{3 x - 1} = + \infty; lim_{x \to {\frac{1}{3}}^{-}} y = lim_{x \to {\frac{1}{3}}^{-}} \frac{2 x}{3 x - 1} = - \infty$ nên x = $\frac{1}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow \frac{2 x}{3 x - 1} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (0; 0)

c) $y = \frac{5 + x}{2 - x}$

Tập xác định: $D = R ∖ {2}$

Chiều biến thiên:

$y^{'} = \frac{7}{{(2 - x)}^{2}} \geq 0 \forall x \in D$ nên hàm số đồng biến trên D

Tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} \frac{5 + x}{2 - x} = - 1; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} \frac{5 + x}{2 - x} = - 1$ nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$lim_{x \to 2^{+}} y = lim_{x \to 2^{+}} y = \frac{5 + x}{2 - x} = - \infty; lim_{x \to 2^{-}} y = lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{3 x - 1} = + \infty$ nên x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = $\frac{5}{2}$ nên (0; $\frac{5}{2}$ ) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow \frac{5 + x}{2 - x} = 0 \Leftrightarrow x = - 5$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-5; 0)