Giải mục 3 trang 28, 29, 30

HĐ4

Xét các phân thức $P=\frac{x^{2}y}{x{y}^2}$, $Q=\frac{x}{y}$, $R=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}$ .

a) Các phân thức trên có bằng nhau không? Tại sao?

b) Có thể biến đổi như thế nào nếu chuyển $Q$ thành $P$ và $R$ thành $Q$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức: $\frac{A}{B}$ $=\frac{C}{D}$  nếu $AD=BC$ để kiểm tra xem các phân thức trên có bằng nhau hay không?

b) Nhân hoặc cả tử và mẫu của đa thức $Q$ cho $xy$; chia cả tử và mẫu của đa thức của $R$ cho $x+y$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$x^{2}y.y=x^2{y}^2$

$x{y}^2.x=x^2{y}^2$

Do đó$x^{2}y.y=x{y}^2.x$

Vậy $P=Q$ (1)

Ta có:

$x.\left(xy+y^2\right)=x^{2}y+x{y}^2$

$y.\left(x^2+xy\right)=x^{2}y+x{y}^2$

Do đó $x.\left(xy+y^2\right)=y.\left(x^2+xy\right)$

Vậy $Q=R$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $P=Q=R$

b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $Q$ với $xy$ để chuyển $Q$ thành $P$, ta được: $Q=\frac{x}{y}=\frac{x.xy}{y.xy}=\frac{x^{2}y}{x{y}^2}$

Phân thức cả tử và mẫu của phân thức $R$ thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu của phân thức $R$ cho nhân tử chung $x+y$ để chuyển $R$ thành $Q$, ta được: $R=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}=\frac{x.\left(x+y\right)}{y.\left(x+y\right)}=\frac{x.\left(x+y\right):\left(x+y\right)}{y.\left(x+y\right):\left(x+y\right)}=\frac{x}{y}$

Thực hành 4

Chứng tỏ hai phân thức $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}$  và $\frac{a-b}{ab}$  bằng nhau theo hai cách khác nhau.

Phương pháp giải:

Phân tích tử và mẫu của phân thức $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}$ thành nhân tử để tìm nhân tử chung. Sau đó chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{a-b}{ab}$ với $a+b$

Lời giải chi tiết:

Cách 1: $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}=\frac{a-b}{ab}$

Cách 2: $\frac{a-b}{ab}=\frac{\left(a-b\right).\left(a+b\right)}{ab.\left(a+b\right)}=\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}$

Vậy hai phân thức đã cho bằng nhau

Thực hành 5

Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{3x^2+6xy}{6x^2}$                                          

b) $\frac{2x^2-x^3}{x^2-4}$                                        

c) $\frac{x+1}{x^3+1}$

Phương pháp giải:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung để rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết:

a) $\frac{3x^2+6xy}{6x^2}$ $=\frac{3x.\left(x+2y\right)}{3x.2x}=\frac{x+2y}{2x}$

b) $\frac{2x^2-x^3}{x^2-4}$$=\frac{x^2.\left(2-x\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{-x^2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{-x^2}{x+2}$

c) $\frac{x+1}{x^3+1}$ $=\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{1}{x^2-x+1}$