Giải mục 3 trang 28

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+4}{2x+1}.$

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

- Tập xác định: $D=R\setminus \left\{\frac{-1}{2}\right\}$.

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2x+4}{2x+1}=1.$

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{2x+4}{2x+1}=1.$

Suy ra đường thẳng $y=1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

$\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{+}}{lim}\frac{2x+4}{2x+1}=+\infty$

$\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to {\frac{-1}{2}}^{-}}{lim}\frac{2x+4}{2x+1}=-\infty$

Suy ra đường thẳng $x=\frac{-1}{2}$. là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-6}{{(2x+1)}^2}<0.$

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ,\frac{-1}{2}\right)$ và $\left(\frac{-1}{2},+\infty \right)$

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Vẽ đồ thị:

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Ở một bể chứa nước có chứa 1000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào bể nước với tốc độ là 25 lít/phút.

a) Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là: $C\left(t\right)=\frac{30t}{40+t}.$

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=C\left(t\right)$ sau 10 tiếng kể từ lúc bắt đầu bơm, từ đó nhận xét về nồng độ muối trong bể khi thời gian ttt càng lớn.

Phương pháp giải:

a)

Tính lượng nước biển bơm vào sau 𝑡 phút.

Tính tổng lượng nước trong bể sau 𝑡 phút.

Tính lượng muối bơm vào bể sau 𝑡 phút.

Tính nồng độ muối 𝐶(𝑡).

b)

Tính giới hạn của C(t) khi $t\to \infty$_.

Tính đạo hàm của C(t).

Xét dấu của đạo hàm C’(t).

Từ dấu của đạo hàm và giới hạn khi $t\to \infty$kết luận về sự biến thiên và giá trị tiệm cận của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a)

Lượng nước biển bơm vào sau $t$ phút: $V=25t$ lít.

Tổng lượng nước trong bể sau $t$ phút: $1000+25t$ lít.

Lượng muối bơm vào bể sau $t$ phút: $30.25t=750tgam.$

Nồng độ muối $C\left(t\right)=\frac{750t}{1000+25t}=\frac{750t}{25(40+t)}=\frac{30t}{40+t}.$

b)

Vì t là thời gian nên tập xác định của hàm số

$y=C\left(t\right)$ là t > 0.

Giới hạn của $C\left(t\right)$ khi $t\to \infty$ : $\underset{t\to \infty }{lim}\frac{30t}{40+t}=30.$

Đạo hàm của $C\left(t\right)$ : $C^{\prime }\left(t\right)=\frac{30.(40+t)-30t.1}{{(40+t)}^2}=\frac{1200+30t-30t}{{(40+t)}^2}=\frac{1200}{{(40+t)}^2}.$

Nhận thấy $C^{\prime }\left(t\right)>0\forall t>0.$

Vậy nồng độ muối trong bể tăng dần khi thời gian $t$ càng lớn.

Khi $t\to \infty$, nồng độ muối trong bể tiệm cận 30 gam/lít.