Giải mục 3 trang 35, 36

HĐ 3

Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức $(a + b)^{4}$ (Hình 7a) và nhị thức $(a + b)^{5}$ (Hình 7b) sau:

a) So sánh từng cặp hệ số $C_{4}^{0}$ và $C_{4}^{4}$ , $C_{4}^{1}$ và $C_{4}^{3}$ ở Hình 7a.

So sánh từng cặp hệ số $C_{5}^{0}$ và $C_{5}^{5}$ , $C_{5}^{1}$ và $C_{5}^{4}$ , $C_{5}^{2}$ và $C_{5}^{3}$ ở Hình 7b.

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $C_{4}^{0} = 1 = C_{4}^{4}; C_{4}^{1} = 4 = C_{4}^{3}$

$C_{5}^{0} = 1 = C_{5}^{5}; C_{5}^{1} = 5 = C_{5}^{4}; C_{5}^{2} = 10 = C_{5}^{3}$

b) Dãy $C_{4}^{0}; C_{4}^{1}; C_{4}^{2}; C_{4}^{3}; C_{4}^{4}$ tăng từ $C_{4}^{0}$ đến $C_{4}^{2}$ rồi giảm từ $C_{4}^{2}$ đến $C_{4}^{4}$

Dãy $C_{5}^{0}; C_{5}^{1}; C_{5}^{2}; C_{5}^{3}; C_{5}^{4}; C_{5}^{5}$ tăng từ $C_{5}^{0}$ đến $C_{5}^{2}$ , $C_{5}^{2} = C_{5}^{3}$ , rồi giảm từ $C_{5}^{3}$ đến $C_{5}^{5}$

Luyện tập 1

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của

a) $(a + b)^{2022}$

b) $(a + b)^{2023}$

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Hệ số thứ k của biểu thức là $C_{n}^{n - k} a^{k} b^{n - k}$

Hệ số lớn nhất trong khai triển là hệ số lớn hơn hệ số đứng sau và đứng trước nó

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $C_{2022}^{0} < C_{2022}^{1} < C_{2022}^{2} < . . . < C_{2022}^{1011}$ và $C_{2022}^{1011} > C_{2022}^{1012} > C_{2022}^{1012} > . . . > C_{2022}^{2022}$

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển $(a + b)^{2022}$ là $C_{2022}^{1011}$

a) Ta có $C_{2023}^{0} < C_{2023}^{1} < C_{2023}^{2} < . . . < C_{2023}^{1011} = C_{2023}^{1012}$ và $C_{2023}^{1012} > C_{2023}^{1013} > C_{2023}^{1014} > . . . > C_{2023}^{2023}$

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển $(a + b)^{2023}$ là $C_{2023}^{1011} = C_{2023}^{1012}$

Luyện tập 2

Xét khai triển của $(x + 5)^{15}$

a) Nêu số hạng chứa $x^{7}$ từ đó nêu hệ số của $x^{7}$

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số $a_{k}$ của $x^{k}$ với $0 \leq k \leq 15$

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: $(a x + b)^{n} = C_{n}^{0} (a x)^{n} + C_{n}^{1} (a x)^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{n - 1} (a x) b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Hệ số của $x^{k}$ trong khai triển trên là $C_{n}^{n - k} a^{k} b^{n - k}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $(x + 5)^{15} = {C_{1}}^{0} x^{15} + {C_{1}}^{1} x^{14} 5 + . . . + {C_{1}}^{14} x {.5}^{14} + {C_{1}}^{15} 5^{15} = \sum_{k = 0}^{15} C_{15}^{k} x^{15 - k} 5^{k}$

a) Số hạng chứa $x^{7}$ , tức là $15 - k = 7$ hay $k = 8$ là $C_{15}^{8} . x^{7} {.5}^{8}$ . Hệ số của $x^{7}$ là $C_{15}^{8} {.5}^{8}$

b) Số hạng chứa $x^{15}$ là $C_{15}^{0} x^{15} = x^{15}$ . Hệ số của $x^{15}$ là $1$ .

Số hạng tự do là: $C_{15}^{15} 5^{15} = 5^{15}$

Số hạng chứa $x^{k} (1 \leq k \leq 14)$ là $C_{15}^{15 - k} x^{k} 5^{15 - k} = C_{15}^{15 - k} 5^{15 - k} x^{k}$ . Hệ số của $x^{k}$ là $C_{15}^{15 - k} 5^{15 - k}$