Giải mục 3 trang 36, 37

Cho hàm số f(x)=x2f(x)=x2f(x) = {x^2}. Tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0x0{x_0} bất kì.

Hoạt động 5

Cho hàm số $f (x) = x^{2}$ . Tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm $x_{0}$ bất kì.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghia đạo hàm để tính đạo hàm

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{2} - x_{0}^{2}}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} \frac{(x - x_{0}) . (x + x_{0})}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} (x + x_{0}) = 2 x_{0}$

Luyện tập 4

Chứng minh đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ là $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

Lời giải chi tiết:

Với mọi $x_{0} \in (0; + \infty)$ ta có :

$lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}}{(\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}) . (\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}})} = lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x_{0}}}$

Suy ra $y^{'} (x_{0}) = \frac{1}{2 \sqrt{x_{0}}}$

Vậy đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ là $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$