Giải mục 3 trang 37, 38

Thực hành 3

Xác định hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của $(3 x + 2)^{9}$

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Số hạng chứa $x^{k}$ trong khai triển của $(a x + b)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} (a x)^{k} b^{n - k}$

Do đó hệ số của $x^{k}$ trong khai triển của $(a x + b)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} a^{k} b^{n - k}$

Lời giải chi tiết:

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$(3 x + 2)^{9} = C_{9}^{0} {(3 x)}^{9} + C_{9}^{1} {(3 x)}^{8} 2 + . . . + C_{9}^{k} {(3 x)}^{9 - k} 2^{k} + . . . + C_{9}^{8} (3 x) 2^{8} + C_{9}^{9} 2^{9}$

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với $9 - k = 2$ hay $k = 7$ . Do đó hệ số của $x^{2}$ là

$C_{9}^{7} 3^{2} 2^{7} = 36.9.128 = 41472$

Thực hành 4

Biết rằng trong khai triển của $(x + a)^{6}$ với a là một số thực, hệ số của $x^{4}$ là 60. Tìm giá trị của a.

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Số hạng chứa $x^{k}$ trong khai triển của $(a x + b)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} (a x)^{k} b^{n - k}$

Do đó hệ số của $x^{k}$ trong khai triển của $(a x + b)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} a^{k} b^{n - k}$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$(x + a)^{6} = C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} a + . . . + C_{6}^{k} x^{6 - k} a^{k} + . . . + C_{6}^{6} a^{6}$

Số hạng chứa $x^{4}$ ứng với $6 - k = 4$ hay $k = 2$ . Hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ là $C_{6}^{2} a^{2}$

Theo giả thiết ta có: $C_{6}^{2} a^{2} = 60$

$\Leftrightarrow 15 a^{2} = 60 \Leftrightarrow a^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{matrix} a = 2 a = - 2 \end{matrix}$

Vậy $a = 2$ hoặc $a = - 2$ .

Thực hành 5

Chứng minh rằng, với mọi $n \in N^{*}$ , ta có:

$C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - C_{n}^{3} + . . . + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n} = 0$ .

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton:

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$ .

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$(1 + x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + . . . + C_{n}^{n} x^{n}$ .

Thay $x = - 1$ ta được:

$0 = C_{n}^{0} + (- 1) C_{n}^{1} + (- 1)^{2} C_{n}^{2} + (- 1)^{3} C_{n}^{3} + . . . + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n}$

hay $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - C_{n}^{3} + . . . + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n} = 0$ .

Vận dụng

Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy 0 quả (tức là không lấy quả nào)?

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Lời giải chi tiết:

Giả sử lấy k quả cầu từ hộp A cho sáng hộp B. $(0 \leq k \leq 10)$

Để lấy k quả cầu, có $C_{10}^{k}$ cách lấy. (trường hợp không lấy quả nào được tính là 1 cách, bằng $C_{10}^{0}$ )

Vậy số cách lấy một số quả cầu (kể cả cách lấy 0 quả) từ hộp A cho sang hộp B là:

$C_{10}^{0} + C_{10}^{1} + C_{10}^{2} + . . . + C_{10}^{10} = 2^{10} = 1024.$