Giải mục 3 trang 40, 41

Giải tam giác ABC, biết b = 32, c =45, A =87. Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45, $\hat{A} = 87^{o}$ .

Phương pháp giải:

Tính độ dài các cạnh và các góc còn lại của tam giác.

Bước 1: Tính a: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ .

Bước 2: Tính sinB, suy ra góc B, góc C.

Lời giải chi tiết:

Ta cần tính cạnh BC, góc B và góc C.

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh A ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

$\Leftrightarrow B C^{2} = 32^{2} + 45^{2} - 2.32.45. \cos 87^{o}$

$\Leftrightarrow B C^{2} \approx 2898, 27$

$\Leftrightarrow B C \approx 53, 8$ .

Theo định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b . \sin A}{a} = \frac{32. \sin 87^{o}}{53, 8} \approx 0, 594.$

$\Rightarrow \hat{B} \approx 36, 44^{o}$ hoặc $\hat{B} \approx 143, 56^{o}$ (loại vì $\hat{A} + \hat{B} = 230, 56^{o} > 180^{o}$ )

$\Rightarrow \hat{C} = 180^{o} - \hat{A} - \hat{B} \approx 180^{o} - 87^{o} - 36, 44^{o} = 56, 56^{o}$ .

Vậy tam giác ABC có $B C \approx 53, 8$ ; $\hat{B} \approx 36, 44^{o}$ và $\hat{C} = 56, 56^{o}$ .

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Phương pháp giải:

Bước 1: Cố định vị trí đứng ngắm, xác định góc ngắm.

Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm tới từng đỉnh núi.

Bước 3: Áp dụng định lí cosin để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tại khu vực quan sát, đặt một cọc tiêu cố định tại vị trí A. Kí hiệu hai đỉnh núi lần lượt là điểm B và điểm C.

Đứng tại A, ngắm điểm B và điểm C để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.

Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm đến từng đỉnh núi, tức là tính AB, AC.

* Tính AB bằng cách:

+ Đứng tại A, ngắm đỉnh núi B để xác định góc ngắm so với mặt đất, kí hiệu là góc α.

+ Theo hướng ngắm, đặt tiếp cọc tiêu tại D gần đỉnh núi hơn và đo đoạn AD. Xác định góc ngắm tại điểm D, kí hiệu là góc β.

Ta có hình vẽ:

Ta có: $\hat{A D B} = 180^{o} - β$ ; $\hat{D B A} = β - α$ .

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta được:

$\frac{A B}{\sin \hat{A D B}} = \frac{D A}{\sin \hat{D B A}}$

$\Rightarrow A B = \sin \hat{A D B} . \frac{D A}{\sin \hat{D B A}}$ .

$\Rightarrow A B = \sin (180^{o} - β) . \frac{D A}{\sin (β - α)}$ .

* Tương tự ngắm và đo để xác định AC.

Ta có:

$\hat{A E C} = 180^{o} - δ; \hat{A C E} = δ - γ$ .

Áp dụng định lí sin vào tam giác ACE, ta được:

$\frac{A C}{\sin \hat{A E C}} = \frac{A E}{\sin \hat{A C E}}$

$\Rightarrow A C = \sin \hat{A E C} . \frac{A E}{\sin \hat{A C E}}$

$\Rightarrow A C = \sin (180^{o} - δ) . \frac{A E}{\sin (δ - γ)}$ .

Buộc 3: Tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi, bằng cách áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh BC.

Ta có: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos B A C$ .

Với AB, AC, góc BAC đã biết ở các bước trên, thay vào ta tính được BC chính là khoảng cách giữa hai đỉnh núi.