Giải mục 3 trang 41, 42, 43, 44 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 5

Cho hai điểm $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B})$ . Từ biểu thức $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ , tìm tọa độ vectơ $\vec{A B}$ theo tọa độ hai điểm A,B

Phương pháp giải:

Với $\vec{v} = (v_{1}; v_{2}), \vec{w} = (w_{1}; w_{2})$ thì $\vec{v} + \vec{w}$ là $(v_{1} + w_{1}; v_{2} + w_{2})$

Lời giải chi tiết:

Ta có tọa độ vectơ $\vec{O B}, \vec{O A}$ chính là tọa độ điểm B và A

Nên ta có $\vec{O B} = (x_{B}; y_{B}), \vec{O A} = (x_{A}; y_{A})$

$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (x_{B}; y_{B}) - (x_{A}; y_{A}) = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$

Thực hành 3

Cho $E (9; 9), F (8; - 7), G (0; - 6)$ . Tìm tọa độ các vectơ $\vec{F E}, \vec{F G}, \vec{E G}$

Phương pháp giải:

$\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l} \vec{F E} = (x_{E} - x_{F}; y_{E} - y_{F}) = (9 - 8; 9 - (- 7)) = (1; 16) \\ \vec{F G} = (x_{G} - x_{F}; y_{G} - y_{F}) = (0 - 8; (- 6) - (- 7)) = (- 8; 1) \\ \vec{E G} = (x_{G} - x_{E}; y_{G} - y_{E}) = (0 - 9; (- 6) - 9) = (- 9; - 15) \end{array}$

HĐ Khám phá 6

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B}), C (x_{C}; y_{C})$ . Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là trung điểm của đoạn thẳng AB, $G (x_{G}; y_{G})$ là trọng tâm của tam giác ABC

a) Biểu thị vectơ $\vec{O M}$ theo hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$

b) Biểu thị vectơ $\vec{O G}$ theo ba vectơ $\vec{O A}$ , $\vec{O B}$ và $\vec{O C}$

c) Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M, G theo tọa độ của các điểm A, B, C

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất trung điểm $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ (với G là trọng tâm của tam giác ABC)

c) Thay tọa độ các điểm vào và xác định

Lời giải chi tiết:

a) M là trung điểm của đoạn thẳng AB, áp dụng tính chất trung điểm ta có:

$\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$

b) G là trọng tâm của tam giác ABC, áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác ta có:

$\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

c) Ta có $\vec{O A} = (x_{A}; y_{A}), \vec{O B} = (x_{B}; y_{B}), \vec{O C} = (x_{C}; y_{C})$

Suy ra:

$\begin{array}{l} \vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B}) = \frac{1}{2} [(x_{A}; y_{A}) + (x_{B}; y_{B})] \\ = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}) = \frac{1}{3} [(x_{A}; y_{A}) + (x_{B}; y_{B}) + (x_{c}; y_{c})] \\ = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}) \end{array}$

Mà ta có tọa độ vectơ $\vec{O M}$ chính là tọa độ điểm M, nên ta có

Tọa độ điểm M là $(x_{M}; y_{M}) = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

Tọa độ điểm G là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

Thực hành 4

Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh $Q (7; - 2), R (- 4; 9)$ và $S (5; 8)$ .

a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS.

Phương pháp giải:

Tọa độ điểm M là $(\frac{x_{Q} + x_{S}}{2}; \frac{y_{Q} + y_{S}}{2})$ .

Tọa độ điểm G là $(\frac{x_{Q} + x_{R} + x_{S}}{3}; \frac{y_{Q} + y_{R} + y_{S}}{3})$ .

Lời giải chi tiết:

a) $x_{M} = \frac{x_{Q} + x_{S}}{2} = \frac{7 + 5}{2} = 6; y_{M} = \frac{y_{Q} + y_{S}}{2} = \frac{(- 2) + 8}{2} = 3$ .

Vậy $M (6; 3)$ .

b)

$x_{G} = \frac{x_{Q} + x_{S} + x_{R}}{3} = \frac{7 + (- 4) + 5}{3} = \frac{8}{3}; y_{M} = \frac{y_{Q} + y_{S} + y_{R}}{3} = \frac{(- 2) + 9 + 8}{3} = 5$ .

Vậy $G (\frac{8}{3}; 5)$ .

HĐ Khám phá 7

Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ và hai điểm $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B})$ . Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a) $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = . . . ?$

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow {\begin{cases} a_{1} = t b_{1} \\ a_{2} = t b_{2} \end{cases}$ hay ${\begin{cases} b_{1} = k a_{1} \\ b_{2} = k a_{2} \end{cases} \Leftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = . . . ?$

c) $| \vec{a} | = \sqrt{{(\vec{a})}^{2}} = \sqrt{. ? .}$

d) $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) \Rightarrow A B = \sqrt{{(\vec{A B})}^{2}} = \sqrt{. ? .}$

e) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{. ? .}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} . \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ ( $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ )

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow {\begin{cases} a_{1} = t b_{1} \\ a_{2} = t b_{2} \end{cases}$ hay ${\begin{cases} b_{1} = k a_{1} \\ b_{2} = k a_{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = a_{1} . k a_{2} - a_{2} . k a_{1} = 0$

c) $| \vec{a} | = \sqrt{{(\vec{a})}^{2}} = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}}$

d) $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) \Rightarrow A B = \sqrt{{(\vec{A B})}^{2}}$

$= \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$

e) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} . \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$

Thực hành 5

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh $D (2; 2), E (6; 2)$ và $F (2; 6)$

a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường vuông cao của tam giác DEF kẻ từ D

b) Giải tam giác DEF

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tọa độ các vectơ $\vec{D H}, \vec{E F}$

Bước 2: Dựa vào ứng dụng tọa độ của các phép toán vectơ (tính chất vuông góc)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{E F} = (- 2; 4)$

Gọi tọa độ điểm H là $(x; y)$ ta có $\vec{D H} = (x - 2; y - 2), \vec{E H} = (x - 6; y - 2)$

H là chân đường cao nên $\vec{D H} ⊥ \vec{E F}$

$\begin{array}{l} \vec{D H} ⊥ \vec{E F} \Leftrightarrow (x - 2) . (- 2) + (y - 2) .4 = 0 \\ \Leftrightarrow - 2 x + 4 y - 4 = 0 \end{array}$ (1)

Hai vectơ $\vec{E H}, \vec{E F}$ cùng phương

$\Leftrightarrow (x - 6) . (- 2) - (y - 2) .4 = 0 \Leftrightarrow - 2 x - 4 y + 20 = 0$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

${\begin{cases} - 2 x + 4 y - 4 = 0 \\ - 2 x - 4 y + 20 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases}$

Vậy $H (4; 3)$

b) Ta có: $\vec{D E} = (4; 0), \vec{D F} = (0; 4), \vec{E F} = (- 4; 4)$

Suy ra: $D E = | \vec{D E} | = \sqrt{4^{2} + 0^{2}} = 4, D F = | \vec{D F} | = \sqrt{0^{2} + 4^{2}} = 4$

$E F = | \vec{E F} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 4^{2}} = 4 \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} \cos D = \cos (\vec{D E}, \vec{D F}) = \frac{\vec{D E} . \vec{D F}}{D E . D F} = \frac{4.0 + 0.4}{4.4} = 0 \Rightarrow \hat{D} = 90^{\circ} \\ \cos E = \cos (\vec{E D}, \vec{E F}) = \frac{\vec{E D} . \vec{E F}}{E D . E F} = \frac{(- 4) . (- 4) + 0.4}{4.4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \hat{E} = 45^{\circ} \\ \hat{F} = 180^{\circ} - \hat{D} - \hat{E} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \end{array}$

Vận dụng 3

Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ $B (50; 30)$ và $C (32; - 23)$ . Một con tàu đang neo đậu tại điểm $A (- 10; 20)$

a) Tính số đo của $\hat{B A C}$

b) Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tọa độ các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{B C}$

Bước 2:

a) $\cos \hat{B A C} = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C}$

b) $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{A B} = (60; 10), \vec{A C} = (42; - 43), \vec{B C} = (- 18; - 53)$

$\cos \hat{B A C} = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C} = \frac{60.42 + 10. (- 43)}{\sqrt{60^{2} + 10^{2}} . \sqrt{42^{2} + {(- 43)}^{2}}} ≃ 0, 572 \Rightarrow \hat{B A C} \approx 55^{\circ} 8^{'}$

b)

Khoảng cách từ tàu đến đảo B là $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{60^{2} + 10^{2}} = 10 \sqrt{37}$ (km)

Khoảng cách từ tàu đến đảo B là $A C = | \vec{A C} | = \sqrt{42^{2} + {(- 43)}^{2}} = \sqrt{3613}$ (km)