Giải mục 3 trang 42, 43, 44, 45

Hoạt động 6

Xét hàm số $y=\sin x$

Cho biết $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$. Bằng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số $y=\sin x$ tại điểm $x_0$ bất kì.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số

Lời giải chi tiết:

Với mọi $x_0\in R$ ta có:

$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{sinx-sin{x}_0}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{2.\cos \frac{x+x_0}{2}.\sin \frac{x-x_0}{2}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\cos \frac{x+x_0}{2}.\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}=\cos x_0$

Vậy $y^{\prime }=\cos x$

Hoạt động 7

a, Từ công thức $\cos x=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$ và quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, chứng minh rằng: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

b, Từ các công thức $\tan x=\frac{sinx}{\cos x}$, $\cot x=\frac{\cos x}{sinx}$ và các quy tắc tính đạo hàm của thương, chứng minh rằng: $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ và $(\cot x{)}^{\prime }=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$

Phương pháp giải:

a, Sử dụng hàm hợp và $(sinx{)}^{\prime }=\cos x$

b, Sử dụng quy tắc $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }.v-u.v^{\prime }}{v^2}$

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $(\cos x{)}^{\prime }=[\sin (\frac{\pi }{2}-x){]}^{\prime }=\cos (\frac{\pi }{2}-x).(\frac{\pi }{2}-x{)}^{\prime }=-\cos (\frac{\pi }{2}-x)=-sinx$

b, Ta có: $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{{(sinx)}^{\prime }.\cos x-sinx.{\left(\cos x\right)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

               $(\cot x{)}^{\prime }=\frac{{\left(\cos x\right)}^{\prime }.sinx-\cos x.{\left(sinx\right)}^{\prime }}{si{n}^{2}x}=\frac{-({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}{{\sin }^{2}x}=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$

Luyện tập 6

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a, $y=3\cot x-\frac{\tan x}{2}+1$                              

b, $y=\frac{sinx}{x}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc :$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ ,$(\cot x{)}^{\prime }=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$, $(sinx{)}^{\prime }=\cos x$

Lời giải chi tiết:

a, $y^{\prime }=(3\cot x-\frac{\tan x}{2}+1{)}^{\prime }=\frac{-3}{{\sin }^{2}x}-\frac{1}{2{\cos }^{2}x}$

b, $y^{\prime }=(\frac{sinx}{x}{)}^{\prime }=\frac{{\left(sinx\right)}^{\prime }.x-x^{\prime }.sinx}{x^2}=\frac{\cos x.x-sinx}{x^2}$

Vận dụng 2

Phương trình chuyển động của một con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng O là $x=4.\cos 2t$, trong đó t được tính bằng giây và x được tính bằng cm. Biết rằng vận tốc của con lắc ở thời điểm t được tính bởi $v\left(t\right)=x^{\prime }\left(t\right)$

a, Tính vận tốc của con lắc tại thời điểm $t=\frac{7\pi }{12}$

b, Tìm thời điểm đầu tiên con lắc đạt vận tốc lớn nhất

Phương pháp giải:

a, Tính  $v\left(t\right)=x^{\prime }\left(t\right)$ và thay $t=\frac{7\pi }{12}$

b, Từ câu a tìm thời điểm con lắc đạt vận tốc lớn nhất

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $v\left(t\right)=x^{\prime }\left(t\right)=(4.\cos 2t{)}^{\prime }=\mathrm{4.2.}-\sin 2t=-8.\sin 2t$

Thay $t=\frac{7\pi }{12}$ ta được: $v\left(\frac{7\pi }{12}\right)=-8\sin \left(2.\frac{7\pi }{12}\right)=-8.\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)=4$ (cm/s)

b, Ta có: $-1\le \sin 2t\le 1$$\Rightarrow -8\le -8\sin 2t\le 8$

Con lắc đạt vận tốc lớn nhất khi sin 2t=-1$\Rightarrow 2t=\frac{3\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{3\pi }{4}$

Hoạt động 8

Xét hàm số $y=e^x$

Cho biết $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1.$Bằng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y=e^x$ tại điểm $x_0$ bất kì.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm

Lời giải chi tiết:

Với mọi $x_0\in R$ ta có:

$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{e^x-e^{x_0}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{(e^{x-x_0}-1)e^{x_0}}{x-x_0}=e^{x_0}$

Vậy $y^{\prime }=e^x$.

Hoạt động 9

a, Từ công thức $a^x=e^{x\ln a}$ và quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, hãy tìm công thức tính đạo hàm của hàm số $y=a^x$

b, Từ công thức ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ và các quy tắc tính đạo hàm đã biết, hãy tìm công thức tính đạo hàm của hàm số $y={\log }_{a}x$

Phương pháp giải:

a, Sử dụng công thức $(e^x{)}^{\prime }=e^x$

b, Sử dụng quy tắc $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }.v-u.v^{\prime }}{v^2}$

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $(a^x{)}^{\prime }=(e^{x\ln a}{)}^{\prime }=(x.\ln a{)}^{\prime }.e^{x.\ln a}=\ln a.e^{x.\ln a}=\ln a.a^x$

b, Ta có: $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=(\frac{\ln x}{\ln a}{)}^{\prime }=\frac{{\left(\ln x\right)}^{\prime }.\ln a-\ln x.{\left(\ln a\right)}^{\prime }}{{\ln }^{2}a}=\frac{\frac{1}{x}.\ln a}{{\ln }^{2}a}=\frac{1}{x.\ln a}$

Luyện tập 7

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a,$y=4^{sinx+\cos x}$                   

b, $y=\ln (1+\sqrt{x})$                         

c, $y=\frac{\ln x}{x}$

Phương pháp giải:

a, Sử dụng đạo hàm hàm hợp $y^{\prime }=(a^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{a}^u.\ln a$

b, Sử dụng đạo hàm hàm hợp $y^{\prime }=(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$

c, Sử dụng quy tắc $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }.v-u.v^{\prime }}{v^2}$

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $\begin{array}{c}{y}^{\prime }=(4^{sinx+\cos x}{)}^{\prime }=(sinx+\cos x{)}^{\prime }{.4}^{sinx+\cos x}.\ln 4\\ =(\cos x-\sin x){.4}^{sinx+\cos x}.\ln 4\end{array}$

b, Ta có: $y^{\prime }=[\ln (1+\sqrt{x}){]}^{\prime }=\frac{{(1+\sqrt{x})}^{\prime }}{1+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}.(1+\sqrt{x})}$

c, Ta có: $y^{\prime }=(\frac{\ln x}{x}{)}^{\prime }=\frac{{\left(\ln x\right)}^{\prime }.x-x^{\prime }.\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$

Vận dụng 3

Nồng độ C ($\eta g/l$) của loại thuốc A một người uống vào sau t giờ cho bởi hàm số sau $C\left(t\right)=6,2.t^4.e^{-0,5t}$. Biết rằng nồng độ C sẽ tăng lên trong 8 giờ đầu tiên và tốc độ tăng của nồng độ C tại thời điểm t được tính bởi công thức $C^{\prime }\left(t\right)$:

a, Tính tốc độ tăng nồng độ của thuốc A tại thời điểm $t_0=1$

b, Trong hai thời điểm $t_0=1$ và $t_1=5$ thời điểm nào nồng độ thuốc A tăng nhanh hơn?

Phương pháp giải:

a, Tính đạo hàm của hàm số C(t) và thay $t_0=1$

b, Thay $t_0=1$ và $t_1=5$ và so sánh

Lời giải chi tiết:

a, Ta có:

$\begin{array}{c}{C}^{\prime }\left(t\right)=(6,2.t^4.e^{-0,5t}{)}^{\prime }=6,2.(4t^3.e^{-0,5t}+t^4.(-0,5).e^{-0,5t})\\ =24,8t^3.e^{-0,5t}-3,1.t^4.e^{-0,5t}\end{array}$

$C^{\prime }\left(1\right)=24,{8.1}^3.e^{-0,5}-3,{1.1}^4.e^{-0,5}=21,7.e^{-0,5}\approx 13,1617$

b, $C^{\prime }\left(5\right)=24,{8.5}^3.e^{-0,5.5}-3,{1.5}^4.e^{-0,5.5}\approx 95,4238$

Vậy nồng độ tại thời điểm t=5 giây có nồng độ cao hơn.