Giải mục 3 trang 44

Hoạt động 3

Cho biết $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y=\sin x$.

Phương pháp giải:

Tính giới hạn $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

Với bất kì $x_0\in R$, ta có:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}$.

Đặt $x=x_0+\Delta x$. Ta có:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin \left(x_0+\Delta x\right)-\sin x_0}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin x_0\cos \Delta x+\cos x_0\sin \Delta x-\sin x_0}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin x_0\cos \Delta x-\sin x_0}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\cos x_0\sin \Delta x}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin x_0\left(\cos \Delta x-1\right)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{lim}\cos x_0.\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}$

Lại có: $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin x_0\left(\cos \Delta x-1\right)}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin x_0\left(\cos \Delta x-1\right)\left(\cos \Delta x+1\right)}{\Delta x\left(\cos \Delta x+1\right)}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin x_0\left({\cos }^2\Delta x-1\right)}{\Delta x\left(\cos \Delta x+1\right)}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin x_0\left(-{\sin }^2\Delta x\right)}{\Delta x\left(\cos \Delta x+1\right)}$

$=-\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}.\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin x_0.\sin \Delta x}{\left(\cos \Delta x+1\right)}$

$=-1.\frac{\sin x_0.\sin 0}{\cos 0+1}=0\underset{\Delta x\to 0}{lim}\cos x_0.\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}=\cos x_0.1=\cos x_0$.

Suy ra $f^{\prime }\left(x_0\right)=\cos x_0$.

Vậy $f^{\prime }\left(x\right)=\cos x$ trên $R$.

Thực hành 4

Tính đạo hàm của hàm số $y=\tan x$ tại $x=\frac{3\pi }{4}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left(\tan x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y^{\prime }={\left(\tan x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

Vậy $y^{\prime }\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(\frac{3\pi }{4}\right)}=2$.