Giải mục 3 trang 46, 47, 48

KP5

Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′ có AC′ và A′C cắt nhau tại O (Hình 18).

a) Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

b) Cho biết mối quan hệ giữa vectơ tìm được ở câu a) và vectơ $\overrightarrow{AO}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

b) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{AO}$.

TH6

Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 47 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có M là trung điểm của BB′ (Hình 20). Đặt $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{c}$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hiệu, quy tắc hình bình hành và 2 vecto bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm AA’.

Ta có: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AM}$.

Hay $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$.

VD3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}={60}^{\circ }$ (Hình 22).

a) Sử dụng công thức $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ trong đó $\overrightarrow{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10$m/s^2$, tìm độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm.

b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức tính trọng lực.

b) Để chiếc đèn cân bằng thì hợp lực của 4 sợi xích phải cân bằng với trọng lực. Dựa vào tính chất của hình chóp tứ giác đều và quy tắc hình bình hành để tìm hợp lực đó rồi tìm ra lực căng của mỗi sợi xích.

Lời giải chi tiết:

a) Độ lớn trọng lực tác động lên đèn chùm là: P = mg = 5.10 = 50 (N).

b) Giả sử đèn chùm được minh họa như hình vẽ trên.

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{OS}+\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=-4\overrightarrow{OS}=4\overrightarrow{SO}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}\right|=\left|4\overrightarrow{SO}\right|=4SO$.

Trọng lượng của vật là $P=50$ (N).

Suy ra $4\left|\overrightarrow{SO}\right|=P=50$. Do đó $SO=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}$.

Vì $\widehat{ASC}={60}^o$ suy ra $\widehat{ASO}={30}^o$.

Xét tam giác SAO vuông tại O:

$\cos \widehat{ASO}=\frac{SO}{SA}\iff SA=\frac{SO}{\cos \widehat{ASO}}=\frac{\frac{25}{2}}{\cos {30}^o}=\frac{25\sqrt{3}}{3}$.

Vậy lực tác dụng lên mỗi sợi dây xích bằng $\frac{25\sqrt{3}}{3}$ (N).