Giải mục 3 trang 46, 47, 48

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1}), A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . (H.5.29).

a) Tìm điều kiện đối với $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ để $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song hoặc trùng nhau.

b) Giả sử $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0}$ và $\vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0$ thì $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có cắt nhau hay không?

c) Giả sử $\vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ thì $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có chéo nhau hay không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giá của vectơ trong không gian để tìm chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ.

Lời giải chi tiết:

a) Để $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song hoặc trùng nhau thì giá của hai vectơ $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ song song hoặc trùng nhau. Suy ra, $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ cùng phương.

b) Vì $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0}$ mà $\vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0$ nên $\vec{A_{1} A_{2}} = \vec{0}$ , suy ra $A_{1}$ trùng $A_{2}$ . Do đó, $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau.

c) Vì $\vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ nên $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0}$ và $\vec{A_{1} A_{2}} \neq \vec{0}$ nên $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

$Δ_{1} : \frac{x - 3}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{3}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{3}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1}), A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó, $Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \notin Δ_{2}$ .

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua điểm $A_{1} (3; 0; 1)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; - 2; 3)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (1; - 2; 3)$ .

Vì $\vec{u_{1}} = \vec{u_{2}}$ nên $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ .

Lại có: $\frac{3 - 1}{1} \neq \frac{0 - 2}{- 2} \neq \frac{1}{3}$ nên điểm $A_{1} (3; 0; 1)$ không thuộc đường thẳng $Δ_{2}$ .

Do đó, hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ song song với nhau.

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 47 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{4}$ . Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song với nhau;

b) Đường thẳng $Δ_{1}$ và trục Ox chéo nhau;

c) Đường thẳng $Δ_{2}$ trùng với đường thẳng $Δ_{3} : \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 4}{4}$ ;

d) Đường thẳng $Δ_{2}$ cắt trục Oz.

Phương pháp giải:

$Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \notin Δ_{2}$ .

$Δ_{1} \equiv Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \in Δ_{2}$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0 \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua điểm $A_{1} (1; - 2; 3)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 1; 4)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm $A_{2} (- 1; - 1; 0)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (1; 1; 4)$ .

a) Vì $\vec{u_{1}} = \vec{u_{2}}$ nên $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ .

Lại có: $\frac{1 + 1}{1} \neq \frac{- 2 + 1}{1}$ nên điểm $A_{1} (1; - 2; 3)$ không thuộc đường thẳng $Δ_{2}$ .

Do đó, hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ song song với nhau.

b) Trục Ox có một vectơ chỉ phương $\vec{i} = (1; 0; 0)$ và đi qua điểm O(0;0;0).

Ta có: $[\vec{u_{1}}; \vec{i}] = (| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 0 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} |) = (0; 4; - 1)$ , $\vec{A_{1} O} (- 1; 2; - 3)$ .

Vì $\vec{A_{1} O} . [\vec{u_{1}}; \vec{i}] = - 1.0 + 2.4 - 3. (- 1) = 11 \neq 0$ nên $Δ_{1}$ và Ox chéo nhau.

c) Đường thẳng $Δ_{3}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{3}} = (1; 1; 4)$ .

Vì $\vec{u_{3}} = \vec{u_{2}}$ nên $\vec{u_{3}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ .

Lại có: $\frac{- 1 + 2}{1} = \frac{- 1 + 2}{1} = \frac{0 + 4}{4}$ nên điểm $A_{2} (- 1; - 1; 0)$ thuộc đường thẳng $Δ_{3}$ .

Do đó, đường thẳng $Δ_{2}$ trùng với đường thẳng $Δ_{3}$ .

d) Trục Oz có một vectơ chỉ phương $\vec{k} = (0; 0; 1)$ và đi qua điểm O(0; 0; 0).

Ta có: $[\vec{u_{2}}, \vec{k}] = (| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 4 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} |) = (1; - 1; 0)$ , $\vec{A_{2} O} (1; 1; 0)$ .

Vì $\vec{A_{2} O} . [\vec{u_{2}}, \vec{k}] = 1.1 - 1.1 - 0.0 = 0$ và $[\vec{u_{2}}, \vec{k}] = (1; - 1; 0) \neq \vec{0}$ nên $Δ_{2}$ cắt trục Oz.

LT10

Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + t \\ z = 1 - t \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = s \\ y = 1 + 2 s \\ z = 3 s \end{cases}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để tìm vị trí tương đối của $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ và có phương trình tham số: $Δ_{1} : {\begin{cases} x = x_{1} + a_{1} t \\ y = y_{1} + b_{1} t \\ z = z_{1} + c_{1} t \end{cases}$ , $Δ_{2} : {\begin{cases} x = x_{2} + a_{2} s \\ y = y_{2} + b_{2} s \\ z = z_{2} + c_{2} s \end{cases}$ . Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: ${\begin{cases} x_{1} + a_{1} t = x_{2} + a_{2} s \\ y_{1} + b_{1} t = y_{2} + b_{2} s \\ z_{1} + c_{1} t = z_{2} + c_{2} s \end{cases} (*)$

$Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và hệ (*) vô nghiệm.

$Δ_{1} \equiv Δ_{2} \Leftrightarrow$ Hệ (*) có vô số nghiệm.

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow$ Hệ (*) có nghiệm duy nhất.

Lời giải chi tiết:

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (2; 1; - 1)$ và $\vec{u_{2}} = (1; 2; 3)$ .

Vì $\frac{2}{1} \neq \frac{1}{2}$ nên $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương. Do đó, $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình: ${\begin{cases} 1 + 2 t = s \\ 3 + t = 1 + 2 s \\ 1 - t = 3 s \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} s - 2 t = 1 (1) \\ 2 s - t = 2 (2) \\ 3 s + t = 1 (3) \end{cases}$

Từ (1) và (2) ta có: $s = 1; t = 0$ , thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn phương trình.

Do đó, hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.

VD3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là $\vec{v_{1}} = (2; 1; 3), \vec{v_{2}} = (1; 2; 1)$ . Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để giải: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó:

$Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \notin Δ_{2}$ .

$Δ_{1} \equiv Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \in Δ_{2}$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0 \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết:

Gọi d là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương là $\vec{v_{1}} = (2; 1; 3)$ .

Gọi d’ là đường thẳng đi qua B và có vectơ chỉ phương là $\vec{v_{2}} = (1; 2; 1)$ .

Vì $\frac{2}{1} \neq \frac{1}{2}$ nên hai vectơ $\vec{v_{1}}$ và $\vec{v_{2}}$ không cùng phương.

Ta có: $[\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}] = (| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} |) = (- 5; 1; 3) \neq \vec{0}$ , $\vec{A B} (2; 3; 0)$ .

Vì $\vec{A B} . [\vec{v_{1}}; \vec{v_{2}}] = (- 5) .2 + 1.3 + 3.0 = - 7 \neq 0$ nên d và d’ chéo nhau.

Do đó, hai vật trên không va chạm vào nhau.