Giải mục 3 trang 50, 51

Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} right)) có số hạng đầu ({u_1}), công sai d

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 50 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}$ , công sai $d$ .

a) So sánh các tổng sau: $u_{1} + u_{n}; u_{2} + u_{n - 1}; . . .; u_{n} + u_{1}$

b) Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n}$ . So sánh $n (u_{1} + u_{n})$ với $2 S_{n}$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tổng quát của số hạng để xác định.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} u_{1} + u_{n} = u_{1} + u_{1} + (n - 1) d = 2 u_{1} + (n - 1) d \\ u_{2} + u_{n - 1} = u_{1} + d + (n - 2) d = u_{1} + (n - 1) d \\ u_{n} + u_{1} = u_{1} + u_{1} + (n - 1) d = 2 u_{1} + (n - 1) d \end{array}}$

$\Rightarrow u_{1} + u_{n} = u_{2} + u_{n - 1} = . . . = u_{n} + u_{1}$ .

b) Dựa vào công thức vừa chứng minh ta có: $n (u_{1} + u_{n})$ = $2 S_{n}$ .

LT-VD4

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 4 trang 32 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau:

a) 3; 1; – 1; ... với n = 10;

b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: 3; 1; – 1; ... là cấp số cộng với số hạng đầu

u_{1} = 3

và công sai d = 1 – 3 = – 2.

Khi đó

u_{10} = 3 + (10 - 1) . (- 2) = 3 + (- 18) = - 15

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là:

S_{10} = \frac{10 (3 + (- 15))}{2} = - 60

b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.

Ta có: 1,2; 1,7; 2,2; ... là cấp số cộng với số hạng ban đầu

u_{1} = 1, 2

và công sai d = 1,7 – 1,2 = 0,5.

Khi đó

u_{15} = 1, 2 + (15 - 1) .0, 5 = 8, 2

Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng là:

S_{15} = \frac{15 (1, 2 + 8, 2)}{2} = 70, 5