Giải mục 3 trang 52, 53, 54, 55 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 52 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ có $\vec{n} (A; B; C)$ là vecto pháp tuyến. Giả sử M(x; y; z) là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P) (Hình 9).

a) Tính tích vô hướng $\vec{n} . \vec{I M}$ .

b) Hãy biểu diễn $\vec{n} . \vec{I M}$ theo $x_{0}, y_{0}, z_{0}; x, y, z$ và A, B, C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{I M} = (x - x_{0}; y - y_{0}; z - z_{0})$ .

$\vec{n} . \vec{I M} = A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0})$ .

b) $\vec{n} . \vec{I M}$

$= A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0})$

$= A x + B y + C z - A x_{0} - B y_{0} - C z_{0}$ .

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 52 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hai điểm M(2; 1; 0), N(0; 3; 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN là mặt phẳng đi qua trung điểm của MN và vuông góc với MN.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của MN. Ta có:

${\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{2 + 0}{2} = 1 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow I (1; 2; 0)$ .

Ta có $\vec{M N} = (0 - 2; 3 - 1; 0 - 0) = (- 2; 2; 0)$ .

Phương trình mặt phẳng trung trực của MN là:

$- 2 (x - 1) + 2 (y - 2) + 0 (z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow - 2 x + 2 y - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 1 = 0$ .

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 53 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; -2) có cặp vecto chỉ phương là $\vec{u} = (1; 1; 3), \vec{v} = (2; - 1; 2)$ (Hình 10).

a) Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng (P).

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; -2) biết vecto pháp tuyến $\vec{n}$ .

Phương pháp giải:

a) Nếu hai vecto $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) thì $\vec{n} = [\vec{u}; \vec{v}] = (| \begin{array}{l} y_{1} z_{1} \\ y_{2} z_{2} \end{array} |; | \begin{array}{l} z_{1} x_{1} \\ x_{2} z_{1} \end{array} |; | \begin{array}{l} x_{1} y_{1} \\ x_{2} y_{2} \end{array} |)$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P).

b) Mặt phẳng (P) đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .

Lời giải chi tiết:

a) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

$\vec{n} = [\vec{u}; \vec{v}] = (5; - 4; 3)$ .

b) Phương trình mặt phẳng (P):

$5 (x - 1) - 4 (y - 3) + 3 (z + 2) = 0$

$\Leftrightarrow 5 x - 4 y + 3 z + 13 = 0$ .

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 53 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ . Lập phương trình mặt phẳng (P), biết mặt phẳng đó có cặp vecto chỉ phương là $\vec{i}$ , $\vec{j}$ .

Phương pháp giải:

Tìm vecto pháp tuyến của (P) vuông góc với $\vec{i}$ , $\vec{j}$ .

Lời giải chi tiết:

Cặp vecto chỉ phương $\vec{i}$ , $\vec{j}$ của (P) đều thuộc mặt phẳng (Oxy). Do đó, vecto pháp tuyến của (P) vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Ta lấy $\vec{k} = (0; 0; 1)$ thỏa mãn điều kiện trên.

Mặt phẳng (P) đi qua $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , nhận $\vec{k} = (0; 0; 1)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình:

$0 (x - x_{0}) + 0 (y - y_{0}) + 1 (z - z_{0}) = 0 \Leftrightarrow z - z_{0} = 0$ .

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 53 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho ba điểm H(-1; 1; 2), I(1; 3; 2), K(-1; 4; 5) cùng thuộc mặt phẳng (P) (Hình 11).

a) Tím tọa độ của các vecto $\vec{H I}$ , $\vec{H K}$ . Từ đó hãy chứng tỏ rằng ba điểm H, I, K không thẳng hàng.

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H(-1;1;2), biết cặp vecto chỉ phương là $\vec{H I}$ , $\vec{H K}$ .

Phương pháp giải:

a) $A (a_{1}; a_{2}; a_{3}), B (b_{1}; b_{2}; b_{3}) \Rightarrow \vec{A B} = (b_{1} - a_{1}; b_{2} - a_{2}; b_{3} - a_{3})$ .

b) Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\vec{n} = (A; B; C)$ . Mặt phẳng (P) đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{H I} = (2; 2; 0)$ , $\vec{H K} = (0; 3; 3)$ .

Có $\vec{H I} \neq k . \vec{H K}$ suy ra H, I, K không thẳng hàng.

b) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

$\vec{n} = [\vec{H I}; \vec{H K}] = (6; - 6; 6)$ .

Phương trình mặt phẳng (P) là:

$6 (x + 1) - 6 (y - 1) + 6 (z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 6 x - 6 y + 6 z = 0$

$\Leftrightarrow x - y + z = 0$ .

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 54 SGK Toán 12 Cánh diều

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M(1; 2; 1), N(0; 3; 2), P(-1; 0; 0).

Phương pháp giải:

Tìm cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (MNP), từ đó suy ra vecto pháp tuyến.

Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M, có vecto pháp tuyến vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{M N} = (- 1; 1; 1)$ , $\vec{M P} = (- 2; - 2; - 1)$ .

$\vec{n} = [\vec{M N}, \vec{M P}] = (| \begin{matrix} 1 & 1 \\ - 2 & - 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & - 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 1 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{matrix} |) = (1; - 3; 4)$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.

Phương trình mặt phẳng (MNP) là:

$1 (x - 1) - 3 (y - 2) + 4 (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - 3 y + 4 z - 1 = 0$ .

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 55 SGK Toán 12 Cánh diều

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4).

Phương pháp giải:

Phương trình đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình mặt chắn:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ .