Giải mục 3 trang 53

HĐ3

Cho hypebol (H): $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . Chứng tỏ rằng $\frac{c}{a} > 1.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $a > 0, b > 0$ và $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} > \sqrt{a^{2}} = a \Rightarrow \frac{c}{a} > 1.$

Thực hành 3

Tìm tâm sai của các hypebol sau:

a) $(H_{1}) : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

b) $(H_{2}) : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

c) $(H_{3}) : \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

Phương pháp giải:

Cho hypebol (H): $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 1: Xác định a, b suy ra $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 2: Tính tâm sai $e = \frac{c}{a}$

Lời giải chi tiết:

a) $(H_{1}) : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

Ta có: $a = 2, b = 1$ , suy ra $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{5}$

Vậy tâm sai của $(H_{1})$ là $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

b) $(H_{2}) : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

Ta có: $a = 3, b = 5$ , suy ra $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{34}$

Vậy tâm sai của $(H_{2})$ là $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{34}}{3}$

c) $(H_{3}) : \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

Ta có: $a = b = \sqrt{3}$ , suy ra $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{6}$

Vậy tâm sai của $(H_{1})$ là $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$

Vận dụng 3

Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$ . Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau

Phương pháp giải:

Cho hypebol (H): $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

+ Tâm sai $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

+ Độ dài trục thực và trục ảo: $2 a$ và $2 b$

Lời giải chi tiết:

Ta có hypebol (H) có tâm sai là $e = \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a} = \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 2 a^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} = b^{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow a = b$ (do $a > 0, b > 0$ )

$\Rightarrow 2 a = 2 b$ hay trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Vận dụng 4

Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt trời là ${2.10}^{8}$ km.

a) Lập phương trình chính tắc của (H)

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí $M (x; y)$ của vật thể trong mặt phẳng tọa độ.

Phương pháp giải:

Cho hypebol (H): $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , $M (x; y)$ thuộc (H).

+ Tâm sai $e = \frac{c}{a}$

+ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M (x; y)$ trên (H) là:

$M F_{1} = | a + \frac{c}{a} x |; M F_{2} = | a - \frac{c}{a} x |$

+ Khoảng cách gần nhất từ $M (x; y)$ trên (H) đến một tiêu điểm là: $c - a .$

Lời giải chi tiết:

a) Gọi phương trình chính tắc của (H) là: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

+ Tâm sai $e = \frac{c}{a} = 1, 2$

+ Khoảng cách gần nhất từ $M (x; y)$ trên (H) đến một tiêu điểm là: $c - a = {2.10}^{8}$

$\Rightarrow a = 10^{9}, c = {12.10}^{8} \Rightarrow b^{2} = c^{2} - a^{2} = {44.10}^{16}$

$\Rightarrow$ PTCT của (H) là $\frac{x^{2}}{10^{18}} - \frac{y^{2}}{{44.10}^{16}} = 1$

b) Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M (x; y)$ trên (H) là:

$M F_{1} = | a + \frac{c}{a} x | = | 10^{9} + 1, 2 x |; M F_{2} = | a - \frac{c}{a} x | = | 10^{9} - 1, 2 x |$