Giải mục 3 trang 54, 55, 56, 57

Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết xOz=38 (hình 6) Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số y = x và y = 2x + 1

HĐ Khám phá 5

Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết $\hat{x O z} = 38^{\circ}$ (hình 6).

Tính số đo các góc $\hat{x O t}, \hat{t O y}$ và $\hat{y O z}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có hai góc $\hat{x O z}$ và $\hat{t O y}$ đối đỉnh nên $\hat{x O z} = \hat{t O y} = 38^{\circ}$ .

Hai góc $\hat{x O t}$ và $\hat{y O z}$ đối đỉnh nên $\hat{x O t} = \hat{y O z}$ .

Hai góc $\hat{x O z}$ và $\hat{x O t}$ bù nhau nên $\hat{x O t} = 180^{\circ} - \hat{x O z} = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}$ .

Vậy $\hat{x O z} = \hat{t O y} = 38^{\circ}$ và $\hat{x O t} = \hat{y O z} = 142^{\circ}$ .

HĐ Khám phá 6

Cho hai đường thẳng

$Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ ( ${a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2} > 0$ ) và $Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ $({a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2} > 0)$

có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ .

Tìm tọa độ $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ và tính $\cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}})$ .

Phương pháp giải:

+) Tọa độ của $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ được xác định từ phương trình tổng quát của hai đường thẳng.

+) Áp dụng biểu thức tọa độ của vectơ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

+) Từ phương trình $Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\vec{n_{1}}$ là $(a_{1}; b_{1})$ .

+) Từ phương trình $Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\vec{n_{2}}$ là $(a_{2}; b_{2})$ .

+) $\cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) = \frac{\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Thực hành 5

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ trong các trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : x + 3 y - 7 = 0$ và $Δ_{2} : x - 2 y + 3 = 0$

b) $Δ_{1} : 4 x - 2 y + 5 = 0$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = t \\ y = 13 + 2 t \end{cases}$

c) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + 2 t \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 7 + 2 t \\ y = 1 - t \end{cases}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đã cho.

Bước 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng bằng công thức $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ lần lượt là $\vec{n_{1}} = (1; 3), \vec{n_{2}} = (1; - 2)$ .

Ta có $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| 1.1 + 3. (- 2) |}{\sqrt{1^{2} + 3^{2}} \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 45^{\circ}$ .

b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ lần lượt là $\vec{n_{1}} = (4; - 2), \vec{n_{2}} = (2; - 1)$ .

Ta có $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| 4.2 + (- 2) . (- 1) |}{\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}} \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 1 \Rightarrow (Δ_{1}, Δ_{2}) = 0^{\circ}$ .

c) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ lần lượt là $\vec{n_{1}} = (2; - 1), \vec{n_{2}} = (1; 2)$ .

Ta có $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 2.1 + (- 1) .2 = 0$ .

Suy ra $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 90^{\circ}$ .

Vận dụng 5

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số $y = x$ và $y = 2 x + 1$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phương trình tổng quat từ đồ thị của hai hàm số đã cho.

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến.

Bước 3: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị hàm số ta có phương trình tổng quát:

$y = x \Leftrightarrow d_{1} : x - y = 0$ , $y = 2 x + 1 \Leftrightarrow 2 x - y + 1 = 0$

Từ đó ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (1; - 1), \vec{n_{2}} = (2; - 1)$ .

$\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{| 1.2 + (- 1) . (- 1) |}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{3 \sqrt{10}}{10} \Rightarrow (d_{1}, d_{2}) \approx 18^{\circ} 26^{'}$ .

Vậy góc giữa hai đường thẳng có đồ thị đã cho gần bằng $18^{\circ} 26^{'}$ .