Giải mục 3 trang 54, 55, 56, 57 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 5

Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết $\hat{x O z} = 38^{\circ}$ (hình 6).

Tính số đo các góc $\hat{x O t}, \hat{t O y}$ và $\hat{y O z}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có hai góc $\hat{x O z}$ và $\hat{t O y}$ đối đỉnh nên $\hat{x O z} = \hat{t O y} = 38^{\circ}$ .

Hai góc $\hat{x O t}$ và $\hat{y O z}$ đối đỉnh nên $\hat{x O t} = \hat{y O z}$ .

Hai góc $\hat{x O z}$ và $\hat{x O t}$ bù nhau nên $\hat{x O t} = 180^{\circ} - \hat{x O z} = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}$ .

Vậy $\hat{x O z} = \hat{t O y} = 38^{\circ}$ và $\hat{x O t} = \hat{y O z} = 142^{\circ}$ .

HĐ Khám phá 6

Cho hai đường thẳng

$Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ ( ${a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2} > 0$ ) và $Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ $({a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2} > 0)$

có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ .

Tìm tọa độ $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ và tính $\cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}})$ .

Phương pháp giải:

+) Tọa độ của $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ được xác định từ phương trình tổng quát của hai đường thẳng.

+) Áp dụng biểu thức tọa độ của vectơ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

+) Từ phương trình $Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\vec{n_{1}}$ là $(a_{1}; b_{1})$ .

+) Từ phương trình $Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\vec{n_{2}}$ là $(a_{2}; b_{2})$ .

+) $\cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) = \frac{\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Thực hành 5

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ trong các trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : x + 3 y - 7 = 0$ và $Δ_{2} : x - 2 y + 3 = 0$

b) $Δ_{1} : 4 x - 2 y + 5 = 0$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = t \\ y = 13 + 2 t \end{cases}$

c) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + 2 t \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 7 + 2 t \\ y = 1 - t \end{cases}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đã cho.

Bước 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng bằng công thức $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ lần lượt là $\vec{n_{1}} = (1; 3), \vec{n_{2}} = (1; - 2)$ .

Ta có $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| 1.1 + 3. (- 2) |}{\sqrt{1^{2} + 3^{2}} \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 45^{\circ}$ .

b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ lần lượt là $\vec{n_{1}} = (4; - 2), \vec{n_{2}} = (2; - 1)$ .

Ta có $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| 4.2 + (- 2) . (- 1) |}{\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}} \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 1 \Rightarrow (Δ_{1}, Δ_{2}) = 0^{\circ}$ .

c) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ lần lượt là $\vec{n_{1}} = (2; - 1), \vec{n_{2}} = (1; 2)$ .

Ta có $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 2.1 + (- 1) .2 = 0$ .

Suy ra $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 90^{\circ}$ .

Vận dụng 5

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số $y = x$ và $y = 2 x + 1$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phương trình tổng quat từ đồ thị của hai hàm số đã cho.

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến.

Bước 3: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị hàm số ta có phương trình tổng quát:

$y = x \Leftrightarrow d_{1} : x - y = 0$ , $y = 2 x + 1 \Leftrightarrow 2 x - y + 1 = 0$

Từ đó ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (1; - 1), \vec{n_{2}} = (2; - 1)$ .

$\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{| 1.2 + (- 1) . (- 1) |}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{3 \sqrt{10}}{10} \Rightarrow (d_{1}, d_{2}) \approx 18^{\circ} 26^{'}$ .

Vậy góc giữa hai đường thẳng có đồ thị đã cho gần bằng $18^{\circ} 26^{'}$ .