Giải mục 3 trang 54, 55

Hoạt động 3

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$. Đặt $S_n$ là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, nghĩa là:

$S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n.$

Tính $q{S}_n$ và $q{S}_n-S_n$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $u_{n+1}=u_n.q$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}q{S}_n=q\left(u_1+u_2+u_3+...+u_n\right)=u{}_1.q+u_2.q+u_3.q+...+u_n.q\\ =u_2+u_3+u_4+...+u_{n+1}\end{array}$

$\begin{array}{c}q{S}_n-S_n=\left(u_2+u_3+u_4+...+u_{n+1}\right)-\left(u_1+u_2+u_3+...+u_n\right)\\ \iff q{S}_n-S_n=u_{n+1}-u_1\end{array}$

Luyện tập 3

Trong bài toán nêu ra ở đầu bài học, tính tổng số hạt thóc được đặt vào 10 ô đầu tiên của bàn cờ vua.

Phương pháp giải:

Từ đầu bài xác định $u_1,q,n$. Áp dụng công thức tính tổng 10 số hạng của cấp số nhân:$S_n=\frac{u_1.\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

Lời giải chi tiết:

Từ đầu bài ta có: $u_1=1,q=2$.

Vậy tổng số hạt thóc được đặt vào 10 ô đầu tiên của bàn cờ vua là $S_{10}=\frac{1.\left(1-2^{10}\right)}{1-2}=1023$ (hạt).

Vận dụng

Mỗi năm, một nhân viên văn phòng mua một đôi giày mới. Giá của một đôi giày người đó mua ở năm đầu tiên là 500 000 đồng. Những năm tiếp theo, giá một đôi giày cùng loại tăng 20% so với giá của năm trước đó. Tính tổng số tiền người đó đã mua giày trong 10 năm.

Phương pháp giải:

Từ đầu bài, xác định $u_1,q,n$. Áp dụng công thức tính tổng n số hạng của cấp số nhân:$S_n=\frac{u_1.\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi giá một đôi giày năm đầu tiên là $u_1$, giá một đôi giày năm thứ hai là $u_2$.

$\Rightarrow u_1=500000,u_2=500000+20\%.500000=600000$

$\Rightarrow q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{600000}{500000}=1,2$

Tương tự với $u_3,u_4,...$ Ta lập được cấp số nhân với $u_1=500000,q=1,2$.

Vậy tổng số tiền người đó đã mua giày trong 10 năm là $S_{10}=\frac{500000.\left(1-1,2^{10}\right)}{1-1,2}\approx 12979341$ (đồng).