Giải mục 3 trang 54, 55 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 3

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ . Đặt $S_{n}$ là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, nghĩa là:

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n} .$

Tính $q S_{n}$ và $q S_{n} - S_{n}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $u_{n + 1} = u_{n} . q$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} q S_{n} = q (u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n}) = u_{1} . q + u_{2} . q + u_{3} . q + . . . + u_{n} . q \\ = u_{2} + u_{3} + u_{4} + . . . + u_{n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} q S_{n} - S_{n} = (u_{2} + u_{3} + u_{4} + . . . + u_{n + 1}) - (u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n}) \\ \Leftrightarrow q S_{n} - S_{n} = u_{n + 1} - u_{1} \end{array}$

Luyện tập 3

Trong bài toán nêu ra ở đầu bài học, tính tổng số hạt thóc được đặt vào 10 ô đầu tiên của bàn cờ vua.

Phương pháp giải:

Từ đầu bài xác định $u_{1}, q, n$ . Áp dụng công thức tính tổng 10 số hạng của cấp số nhân: $S_{n} = \frac{u_{1} . (1 - q^{n})}{1 - q}$ .

Lời giải chi tiết:

Từ đầu bài ta có: $u_{1} = 1, q = 2$ .

Vậy tổng số hạt thóc được đặt vào 10 ô đầu tiên của bàn cờ vua là $S_{10} = \frac{1. (1 - 2^{10})}{1 - 2} = 1023$ (hạt).

Vận dụng

Mỗi năm, một nhân viên văn phòng mua một đôi giày mới. Giá của một đôi giày người đó mua ở năm đầu tiên là 500 000 đồng. Những năm tiếp theo, giá một đôi giày cùng loại tăng 20% so với giá của năm trước đó. Tính tổng số tiền người đó đã mua giày trong 10 năm.

Phương pháp giải:

Từ đầu bài, xác định $u_{1}, q, n$ . Áp dụng công thức tính tổng n số hạng của cấp số nhân: $S_{n} = \frac{u_{1} . (1 - q^{n})}{1 - q}$ .

Lời giải chi tiết:

Gọi giá một đôi giày năm đầu tiên là $u_{1}$ , giá một đôi giày năm thứ hai là $u_{2}$ .

$\Rightarrow u_{1} = 500000, u_{2} = 500000 + 20 % .500000 = 600000$

$\Rightarrow q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{600000}{500000} = 1, 2$

Tương tự với $u_{3}, u_{4}, . . .$ Ta lập được cấp số nhân với $u_{1} = 500000, q = 1, 2$ .

Vậy tổng số tiền người đó đã mua giày trong 10 năm là $S_{10} = \frac{500000. (1 - 1, 2^{10})}{1 - 1, 2} \approx 12979341$ (đồng).