Giải mục 3 trang 55, 56

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 55 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1$, công bội $q\ne 1$.

Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n=u_1+u_{1}q+u_1{q}^2+...+u_1{q}^{n-1}$.

a) Tính $S_n.q$ và $S_n-S_n.q$.

b) Từ đó, hãy tìm công thức tính $S_n$ theo $u_1$ và q.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính cấp số cộng để tính.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$S_n.q=\left(u_1+u_{1}q+u_1{q}^2+...+u_1{q}^{n-1}\right).q$

$=u_1\left(1+q+q^2+...+q^{n-1}\right).q$

$=u_1\left(q+q^2+q^3+...+q^n\right)$

$\begin{array}{c}{S}_n-S_n.q=u_1+u_{1}q+u_1{q}^2+...+u_1{q}^{n-1}-u_1\left(q+q^2+q^3+...+q^n\right)\\ =u_1\left(1+q+q^2+...+q^{n-1}\right)-u_1\left(q+q^2+q^3+...+q^n\right)\\ =u_1\left(1+q+q^2+...+q^{n-1}-\left(q+q^2+q^3+...+q^n\right)\right)\\ =u_1\left(1-q^n\right)\end{array}$

b) Ta có: $S_n-S_n.q=u_1\left(1-q^n\right)$

$\iff S_n\left(1-q\right)=u_1\left(1-q^n\right)$

$\iff S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{\left(1-q\right)}$

LT-VD4

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 4 trang 55 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) 3; – 6; 12; – 24; ... với n = 12.

b) $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},...$ với n = 5.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với $u_1=3$ và công bội q = – 2.

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_{12}=\frac{3(1-(-2{)}^{12})}{1-(-2)}=-4095$.

b) Ta có: $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},...$ là một cấp số nhân với $u_1=\frac{1}{10}$ và công bội $q=\frac{1}{10}$.

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_5=\frac{\frac{1}{10}(1-(\frac{1}{10}{)}^5)}{1-\frac{1}{10}}=0,1111$.