Giải mục 3 trang 55, 56

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 55 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}$ , công bội $q \neq 1$ .

Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n} = u_{1} + u_{1} q + u_{1} q^{2} + . . . + u_{1} q^{n - 1}$ .

a) Tính $S_{n} . q$ và $S_{n} - S_{n} . q$ .

b) Từ đó, hãy tìm công thức tính $S_{n}$ theo $u_{1}$ và q.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính cấp số cộng để tính.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$S_{n} . q = (u_{1} + u_{1} q + u_{1} q^{2} + . . . + u_{1} q^{n - 1}) . q$

$= u_{1} (1 + q + q^{2} + . . . + q^{n - 1}) . q$

$= u_{1} (q + q^{2} + q^{3} + . . . + q^{n})$

$\begin{array}{l} S_{n} - S_{n} . q = u_{1} + u_{1} q + u_{1} q^{2} + . . . + u_{1} q^{n - 1} - u_{1} (q + q^{2} + q^{3} + . . . + q^{n}) \\ = u_{1} (1 + q + q^{2} + . . . + q^{n - 1}) - u_{1} (q + q^{2} + q^{3} + . . . + q^{n}) \\ = u_{1} (1 + q + q^{2} + . . . + q^{n - 1} - (q + q^{2} + q^{3} + . . . + q^{n})) \\ = u_{1} (1 - q^{n}) \end{array}$

b) Ta có: $S_{n} - S_{n} . q = u_{1} (1 - q^{n})$

$\Leftrightarrow S_{n} (1 - q) = u_{1} (1 - q^{n})$

$\Leftrightarrow S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{(1 - q)}$

LT-VD4

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 4 trang 55 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) 3; – 6; 12; – 24; ... với n = 12.

b) $\frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, . . .$ với n = 5.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với $u_{1} = 3$ và công bội q = – 2.

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_{12} = \frac{3 (1 - (- 2)^{12})}{1 - (- 2)} = - 4095$ .

b) Ta có: $\frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, . . .$ là một cấp số nhân với $u_{1} = \frac{1}{10}$ và công bội $q = \frac{1}{10}$ .

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_{5} = \frac{\frac{1}{10} (1 - (\frac{1}{10})^{5})}{1 - \frac{1}{10}} = 0, 1111$ .