Giải mục 3 trang 59, 60 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 59 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội $q$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n}$ .

a) So sánh $q . S_{n}$ và $(u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n}) + q . u_{n}$ .

b) So sánh $u_{1} + q . S_{n}$ và $S_{n} + u_{1} . q^{n}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát là: $u_{n} = u_{1} . q^{n - 1}, n \geq 2$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$q . S_{n} = q . (u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n}) = u_{1} . q + u_{2} . q + . . . + u_{n} . q = (u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n}) + q . u_{n}$

b) Ta có:

$u_{1} + q . S_{n} = u_{1} + (u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n}) + q . u_{n} = (u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n}) + q . u_{n} = S_{n} + u_{1} . q^{n}$

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(u_{n})$ trong các trường hợp sau:

a) $u_{1} = 10^{5}; q = 0, 1; n = 5$ ;

b) $u_{1} = 10; u_{2} = - 20; n = 5$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ là: $S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ .

Lời giải chi tiết:

a) $S_{5} = \frac{u_{1} (1 - q^{5})}{1 - q} = \frac{10^{5} (1 - {(0, 1)}^{5})}{1 - 0, 1} = 111110$ .

b) Ta có: $u_{2} = u_{1} . q \Leftrightarrow - 20 = 10. q \Leftrightarrow q = - 2$

$S_{5} = \frac{u_{1} (1 - q^{5})}{1 - q} = \frac{10 (1 - {(- 2)}^{5})}{1 - (- 2)} = 110$ .

VD4

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong bài toán ở Hoạt động mở đầu đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ là: $S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ .

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có dãy số chỉ độ cao của quả bóng là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 120$ và công bội $q = \frac{1}{2}$ .

Tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên là:

$S_{10} = \frac{u_{1} (1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{120 (1 - {(\frac{1}{2})}^{10})}{1 - (\frac{1}{2})} = 239, 765625$ $(c m)$ .