Giải mục 3 trang 59, 60

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 59 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có công bội $q$. Đặt $S_n=u_1+u_2+...+u_n$.

a) So sánh $q.S_n$ và $\left(u_2+u_3+...+u_n\right)+q.u_n$.

b) So sánh $u_1+q.S_n$ và $S_n+u_1.q^n$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát là: $u_n=u_1.q^{n-1},n\ge 2$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$q.S_n=q.\left(u_1+u_2+...+u_n\right)=u_1.q+u_2.q+...+u_n.q=\left(u_2+u_3+...+u_n\right)+q.u_n$

b) Ta có:

$u_1+q.S_n=u_1+\left(u_2+u_3+...+u_n\right)+q.u_n=\left(u_1+u_2+u_3+...+u_n\right)+q.u_n=S_n+u_1.q^n$

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $\left(u_n\right)$ trong các trường hợp sau:

a) $u_1={10}^5;q=0,1;n=5$;                                      

b) $u_1=10;u_2=-20;n=5$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ là: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

Lời giải chi tiết:

a) $S_5=\frac{u_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\frac{{10}^5\left(1-{\left(0,1\right)}^5\right)}{1-0,1}=111110$.

b) Ta có: $u_2=u_1.q\iff -20=10.q\iff q=-2$

$S_5=\frac{u_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\frac{10\left(1-{\left(-2\right)}^5\right)}{1-\left(-2\right)}=110$.

VD4

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 60 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong bài toán ở Hoạt động mở đầu đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ là: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có dãy số chỉ độ cao của quả bóng là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=120$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên là:

$S_{10}=\frac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\frac{120\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}\right)}{1-\left(\frac{1}{2}\right)}=239,765625$ $\left(cm\right)$.