Giải mục 3 trang 60, 61, 62, 63, 64

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 60 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có $\widehat{BAC}=\alpha$. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18).

a) Vẽ hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{MQ}$ lần lượt bằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$. ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao?

b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{MQ}$ và so sánh góc đó với $\alpha$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ kết hợp với khái niệm và các tính chất của hình lăng trụ.

- Hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm 2 đáy nằm trên hai mặt phẳng song song và là hai đa giác bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AB}$ suy ra MP = AB và MP // AB (1)

Tương tự: $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ suy ra MQ = A’C’ = AC và MQ // A’C’ // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta MPQ=\Delta ABC$.

ABC.MPQ có hai đáy song song và bằng nhau nên ABC.MPQ là hình lăng trụ.

b) Vì $\Delta MPQ=\Delta ABC$ nên $\widehat{PMQ}=\widehat{BAC}=\alpha$.

Mà góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{MQ}$ là góc$\widehat{PMQ}$.

Vậy $\widehat{(\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MQ})}=\alpha$.

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 61 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tìm góc giữa vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ và

a) vecto $\overrightarrow{AB}$;

b) vectơ $\overrightarrow{AD}$;

c) vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }B}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của hình lập phương để xác định góc của các vectơ.

Lời giải chi tiết:

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là $a$.

a) Tìm góc giữa vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ và vectơ $\overrightarrow{AB}$:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$.

Mà góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ là $\widehat{BAC}$ và vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{BAC}={45}^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{(\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{AB})}={45}^{\circ }$.

b) Tìm góc giữa vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ và vectơ $\overrightarrow{AD}$:

Tương tự như câu a ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$.

Mà góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$ là $\widehat{DAC}$ và vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{DAC}={45}^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{(\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{AD})}={45}^{\circ }$.

c) Tìm góc giữa vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ và vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }B}$:

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

Vì O và O’ lần lượt là trung điểm của cạnh BD và B’D’ nên OO’ là đường trung bình của BB’D’D, suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }B}=\overrightarrow{O^{\prime }O}$.

Mà $O^{\prime }O\perp AC$ nên $\widehat{(\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }B})}={90}^{\circ }$.

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ khác $\vec{0}$. Từ một điểm $O$ tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ $\overrightarrow{a^{\prime }},\overrightarrow{b^{\prime }}$ sao cho $\overrightarrow{a^{\prime }}=\vec{a}$, $\overrightarrow{b^{\prime }}=\vec{b}$. (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ $\overrightarrow{a^{\prime }}$ và $\overrightarrow{b^{\prime }}$ (Hình 2.21).

a) Trong mặt phẳng $\left(P\right)$, hãy viết biểu thức tính $\overrightarrow{a^{\prime }}\cdot \overrightarrow{b^{\prime }}$.

b) Hãy so sánh $\overrightarrow{a^{\prime }}\cdot \overrightarrow{b^{\prime }}$ với $|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos (\vec{a},\vec{b})$.

Phương pháp giải:

1. Sử dụng định nghĩa của tích vô hướng trong mặt phẳng $\left(P\right)$.

2. Sử dụng công thức của tích vô hướng để so sánh các biểu thức.

Lời giải chi tiết:

a) Trong mặt phẳng $\left(P\right)$, biểu thức tính $\overrightarrow{a^{\prime }}\cdot \overrightarrow{b^{\prime }}$ được tính như sau:

$\overrightarrow{a^{\prime }}\cdot \overrightarrow{b^{\prime }}=|\overrightarrow{a^{\prime }}|\cdot |\overrightarrow{b^{\prime }}|\cdot \cos \theta$

trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a^{\prime }}$ và $\overrightarrow{b^{\prime }}$.

b) Vì $\overrightarrow{a^{\prime }}=\vec{a}$ và $\overrightarrow{b^{\prime }}=\vec{b}$, nên:

$|\overrightarrow{a^{\prime }}|=|\vec{a}|,|\overrightarrow{b^{\prime }}|=|\vec{b}|$

Do đó, ta có:

$\overrightarrow{a^{\prime }}\cdot \overrightarrow{b^{\prime }}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \theta$

trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a^{\prime }}$ và $\overrightarrow{b^{\prime }}$.

Biểu thức này cho thấy rằng tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a^{\prime }}$ và $\overrightarrow{b^{\prime }}$ trong mặt phẳng $\left(P\right)$ là bằng tích của độ lớn của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ với cosin của góc giữa chúng. Vì vậy:

$\overrightarrow{a^{\prime }}\cdot \overrightarrow{b^{\prime }}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos (\vec{a},\vec{b})$

Điều này chứng minh rằng tích vô hướng của $\overrightarrow{a^{\prime }}$ và $\overrightarrow{b^{\prime }}$ trong mặt phẳng $\left(P\right)$ bằng tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy tính:

a) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}.\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }};$

b) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}.\overrightarrow{BD};$

c) $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}.\overrightarrow{B{B}^{\prime }}.$

Phương pháp giải:

- Xác định độ dài của các vectơ và góc giữa chúng dựa vào tính chất của hình lập phương.

- Sử dụng công thức tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos \theta$ để tính.

Lời giải chi tiết:

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

a) Tính $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Độ dài của $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=|\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}|=a\sqrt{2}$ (vì AB' và A'C' là các cạnh đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).

ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$.

Góc giữa $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $\text{{60^^circ }}$ vì chúng là hai cạnh của tam giác đều AB’C.

Do đó: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}.\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\left|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\right|.\left|\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\right|.\cos {60}^{\circ }=a\sqrt{2}.a\sqrt{2}.\frac{1}{2}=a^2$.

b) Tính $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BD}$.

Độ dài của $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=a\sqrt{2}$ và $|\overrightarrow{BD}|=a\sqrt{2}$ (cả hai đều là đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).

Từ B vẽ một vectơ $\overrightarrow{BE}$ bằng với vectơ $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$.

Vì D đối xứng với E qua tâm của hình vuông BB’C’C nên đường trung tuyến của tam giác cân BED có độ dài là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra: $\widehat{DBE}=2\arccos \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}:a\sqrt{2}\right)=2\arccos \left(\frac{1}{2}\right)={2.60}^{\circ }={120}^{\circ }$.

Góc giữa $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{BD}$ cũng là góc giữa $\overrightarrow{BE}$và $\overrightarrow{BD}$ là $\widehat{DBE}$.

Do đó: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}.\overrightarrow{BD}=\left|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\right|.\left|\overrightarrow{BD}\right|.\cos {120}^{\circ }=a\sqrt{2}.a\sqrt{2}.\left(-\frac{1}{2}\right)=-a^2$.

c) Tính $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.

Độ dài của $|\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}|=a\sqrt{2}$ và $|\overrightarrow{B{B}^{\prime }}|=a$.

ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

Do $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ vuông góc với nhau nên góc giữa $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ Là 90°.

Suy ra: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}.\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\left|\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\right|.\left|\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\right|.\cos {90}^{\circ }=a\sqrt{2}.a.0=0$.

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho tứ diện ABCD có $DA=DB=a$, $BC=\frac{a}{2}$, $AB\perp BC$ và $\text{widehat {CBD} = {45^^circ }}$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$.

Phương pháp giải:

- Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BD}$, từ đó suy ra mối liên hệ với tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$.

- Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:

$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AD}|\times |\overrightarrow{BC}|}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BD}=BC.DB.\cos {45}^{\circ }=\frac{a}{2}.a.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

Mà: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}$.

Suy ra: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}+0=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$(vì $AB\perp BC$ nên $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}=0$).

Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:

$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AD}|\times |\overrightarrow{BC}|}=\frac{\frac{a^2\sqrt{2}}{4}}{a.\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ là $\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)={45}^{\circ }$.

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 64 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một chất điểm ở vị trí đỉnh $A$ của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ lần lượt cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ như Hình 2.25. Cường độ của các lực $\vec{a}$, $\vec{b}$ và $\vec{c}$ tương ứng là $10N$, $10N$ và $20N$. Tính cường độ hợp lực của $\vec{a}$, $\vec{b}$ và $\vec{c}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức quy tắc hình bình hành để tính tổng hợp lực của $\vec{a}$, $\vec{b}$.

_{$F{}^{\text{2}}=F_1{}^{\text{2}}+F_2{}^{\text{2}}+2.{}_1.F_2.\cos \alpha$.}

- Sau đó sử dụng kết quả vừa tính để tính tổng hợp lực với $\vec{c}$.

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên góc giữa $\overrightarrow{AD}$và $\overrightarrow{AB}$ là 90°.

Suy ra lực $\vec{a}$ vuông góc với $\vec{b}$. Vậy hợp lực của hai lực $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là:

$\overrightarrow{F_{ab}}=\overrightarrow{F_a}+\overrightarrow{F_b}\Rightarrow F_{ab}=\sqrt{{F_a}^2+{F_b}^2}=\sqrt{{10}^2+{10}^2}=10\sqrt{2}N$.

Vì tam giác ACC’ là tam giác vuông tại C nên ta có:

$A{C}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2+CC{}^{\prime 2}}=\sqrt{A{C}^2+\frac{A{C}^2}{2}}=AC\sqrt{\frac{3}{2}}$ (vì CC’ là cạnh bên của hình lập phương còn AC là đường chéo của mặt bên nên $C{C}^{\prime }=\frac{AC}{\sqrt{2}}$).

$\cos \widehat{CA{C}^{\prime }}=\frac{AC}{A{C}^{\prime }}=\frac{AC}{AC\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Hợp lực của $\vec{a}$, $\vec{b}$ và $\vec{c}$ là:

$F=\sqrt{{F_{ab}}^2+F_c^2+2.F_{ab}.F_c.\cos \widehat{CA{C}^{\prime }}}=\sqrt{{\left(10\sqrt{2}\right)}^2+{20}^2+2.10\sqrt{2}.20.\frac{\sqrt{6}}{3}}=32,6N$.