Giải mục 3 trang 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 4

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Tìm hình chiều của các điểm $A^{'}, C^{'}, D^{'}$ lên mặt phẳng $(A B C D)$ theo phương của đường thẳng $B B^{'}$

Phương pháp giải:

Tìm đường thẳng song song với đường thẳng $B B^{'}$ xuất phát từ các điểm $A^{'}, C^{'}, D^{'}$

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu lần lượt là $A, C, D$

Luyện tập 6

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông. Biết rằng hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(A B C D)$ là trung điểm $H$ của cạnh $A D$ . Xác định hình chiếu của:

a) Tam giác $S B C$ trên mặt phẳng $(A B C D)$

b) Các cạnh $S B$ và $S C$ trên mặt phẳng $(S A D)$

Phương pháp giải:

a) Tìm hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(A B C D)$ là xong vì $B, C \in (A B C D)$

b) Chứng minh $B A, C D ⊥ (S A D) \Rightarrow$ $A, D$ là hình chiếu của $B$ và $C$ trên $(S A D)$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $S H ⊥ (A B C D)$ nên $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(A B C D)$

Vì $B, C \in (A B C D)$ nên hình chiếu của $Δ S B C$ lên $(A B C D)$ là $Δ H B C$

b) Vì $S H ⊥ (A B C D) \Rightarrow S H ⊥ A B, S H ⊥ C D$

Vì ${\begin{cases} A B ⊥ S H \\ A B ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S A D) \Rightarrow$ Hình chiếu vuông góc của $B$ lên $(S A D)$ là $A$

Vậy hình chiếu của $S B$ lên $(S A D)$ là $S A$

Vì ${\begin{cases} C D ⊥ S H \\ C D ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow$ Hình chiếu vuông góc của $C$ lên $(S A D)$ là $D$

Vậy hình chiếu của $S C$ lên $(S A D)$ là $S D$

Hoạt động 5

Cho đường thẳng $b$ không nằm trong mặt phẳng $(α)$ và không vuông góc với $(α)$ . Gọi $A, B$ là hai điểm phân biệt trên $b$ và $A^{'}, B^{'}$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ trên $(α)$ . Gọi $b^{'}$ là đường thẳng đi qua $A^{'}, B^{'}$ thì $b^{'}$ là hình chiếu vuông góc của $b$ trên mặt phẳng $(α)$ . Xét $a$ là một đường thẳng nằm tròn $(α)$ .

a) Nếu $a ⊥ b^{'}$ thì $a$ có vuông góc với $b$ không? Vì sao?

b) Nếu $a ⊥ b$ thì $a$ có vuông góc với $b^{'}$ không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh $a ⊥ A A^{'}$

Chứng minh $a ⊥ (A A^{'} B^{'} B)$ từ đó suy ra $a ⊥ b^{'}$ và $a ⊥ b$

Lời giải chi tiết:

a) Vì ${\begin{cases} A A^{'} ⊥ (α) \\ a \subset (α) \end{cases} \Rightarrow A A^{'} ⊥ a$

Vì ${\begin{cases} a ⊥ b^{'} \\ a ⊥ A A^{'} \end{cases} \Rightarrow a ⊥ (A A^{'} B^{'} B)$ . Mà $b \subset (A A^{'} B^{'} B) \Rightarrow a ⊥ b$

b) Vì ${\begin{cases} A A^{'} ⊥ (α) \\ a \subset (α) \end{cases} \Rightarrow A A^{'} ⊥ a$

Vì ${\begin{cases} a ⊥ b \\ a ⊥ A A^{'} \end{cases} \Rightarrow a ⊥ (A A^{'} B^{'} B)$ . Mà $b^{'} \subset (A A^{'} B^{'} B) \Rightarrow a ⊥ b^{'}$

Luyện tập 7

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác cân đỉnh $B$ và hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(A B C)$ là trọng tâm của tam giác $A B C$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $A C$ và $S B$ vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Lấy $G$ là trọng tâm của $Δ A B C$ . Chứng minh $B G$ là hình chiếu vuông góc của $S B$ xuống $(A B C)$ kết hợp với $A C ⊥ B G$ từ đó suy ra $A C ⊥ S B$

Lời giải chi tiết:

Gọi $G$ là trọng tâm của $Δ A B C$ . Ta có $S G ⊥ (A B C)$ (gt), suy ra $B G$ là hình chiếu vuông góc của $S G$ xuống $(A B C)$ $(1)$

Vì $Δ$ $A B C$ cân tại $B$ suy ra $B G ⊥ A C$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ , suy ra $A C ⊥ S B$ (định lý ba đường vuông góc)