Giải mục 3 trang 60, 61, 62

Hoạt động 4

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tìm hình chiều của các điểm $A^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ lên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ theo phương của đường thẳng $B{B}^{\prime }$

Phương pháp giải:

Tìm đường thẳng song song với đường thẳng $B{B}^{\prime }$ xuất phát từ các điểm $A^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu lần lượt là $A,C,D$

Luyện tập 6

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Biết rằng hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là trung điểm $H$ của cạnh $AD$. Xác định hình chiếu của:

a) Tam giác $SBC$ trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$

b) Các cạnh $SB$ và $SC$ trên mặt phẳng $\left(SAD\right)$

Phương pháp giải:

a) Tìm hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là xong vì $B,C\in \left(ABCD\right)$

b) Chứng minh $BA,CD\perp \left(SAD\right)\Rightarrow$$A,D$ là hình chiếu của $B$ và $C$ trên $\left(SAD\right)$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $SH\perp \left(ABCD\right)$ nên $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left(ABCD\right)$

Vì $B,C\in \left(ABCD\right)$ nên hình chiếu của $\Delta SBC$ lên $\left(ABCD\right)$ là $\Delta HBC$

b) Vì $SH\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AB,SH\perp CD$

Vì $\{\begin{array}{c}AB\perp SH\\ AB\perp AD\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)\Rightarrow$ Hình chiếu vuông góc của $B$ lên $\left(SAD\right)$ là $A$

Vậy hình chiếu của $SB$ lên $\left(SAD\right)$ là $SA$

Vì $\{\begin{array}{c}CD\perp SH\\ CD\perp AD\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)\Rightarrow$ Hình chiếu vuông góc của $C$ lên $\left(SAD\right)$ là $D$

Vậy hình chiếu của $SC$ lên $\left(SAD\right)$ là $SD$

Hoạt động 5

Cho đường thẳng $b$ không nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và không vuông góc với $\left(\alpha \right)$. Gọi $A,B$ là hai điểm phân biệt trên $b$ và $A^{\prime },B^{\prime }$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ trên $\left(\alpha \right)$. Gọi $b^{\prime }$ là đường thẳng đi qua $A^{\prime },B^{\prime }$ thì $b^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $b$ trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Xét $a$ là một đường thẳng nằm tròn $\left(\alpha \right)$.

a) Nếu $a\perp b^{\prime }$ thì $a$ có vuông góc với $b$ không? Vì sao?

b) Nếu $a\perp b$ thì $a$ có vuông góc với $b^{\prime }$ không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh $a\perp A{A}^{\prime }$

Chứng minh $a\perp \left(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B\right)$ từ đó suy ra $a\perp b^{\prime }$ và $a\perp b$

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\{\begin{array}{c}A{A}^{\prime }\perp \left(\alpha \right)\\ a\subset \left(\alpha \right)\end{array}\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp a$

Vì $\{\begin{array}{c}a\perp b^{\prime }\\ a\perp A{A}^{\prime }\end{array}\Rightarrow a\perp \left(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B\right)$. Mà $b\subset \left(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B\right)\Rightarrow a\perp b$

b) Vì $\{\begin{array}{c}A{A}^{\prime }\perp \left(\alpha \right)\\ a\subset \left(\alpha \right)\end{array}\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp a$

Vì $\{\begin{array}{c}a\perp b\\ a\perp A{A}^{\prime }\end{array}\Rightarrow a\perp \left(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B\right)$. Mà $b^{\prime }\subset \left(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B\right)\Rightarrow a\perp b^{\prime }$

Luyện tập 7

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân đỉnh $B$ và hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AC$ và $SB$ vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Lấy $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$. Chứng minh $BG$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ xuống $\left(ABC\right)$ kết hợp với $AC\perp BG$ từ đó suy ra $AC\perp SB$

Lời giải chi tiết:

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$. Ta có $SG\perp \left(ABC\right)$ (gt), suy ra $BG$ là hình chiếu vuông góc của $SG$ xuống $\left(ABC\right)$ $\left(1\right)$

Vì $\Delta$$ABC$ cân tại $B$ suy ra $BG\perp AC$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$, suy ra $AC\perp SB$ (định lý ba đường vuông góc)