Giải mục 3 trang 62, 63, 64 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 5

Hai người thợ trong hình đang thả dây dọi từ một điểm $M$ trên trần nhà và đánh dấu điểm $M^{'}$ nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn. Có nhận xét gì về đường thẳng $M M^{'}$ với mặt sàn?

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $M M^{'}$ vuông góc với mặt sàn.

Thực hành 4

Cho hình chóp $S . A B C D$ có $S A ⊥ (A B C D)$ và đáy $A B C D$ là hình chữ nhật. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm $C$ , đường thẳng $C D$ và tam giác $S C D$ trên mặt phẳng $(S A B)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng phép chiếu vuông góc.

Lời giải chi tiết:

• Ta có:

$\begin{array}{l} S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B C \\ A B ⊥ B C \end{array}} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$

Vậy $B$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên mặt phẳng $(S A B)$ .

• Ta có:

$\begin{array}{l} S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A D \\ A B ⊥ A D \end{array}} \Rightarrow A D ⊥ (S A B)$

Vậy $A$ là hình chiếu vuông góc của điểm $D$ trên mặt phẳng $(S A B)$ .

Lại có $B$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên mặt phẳng $(S A B)$ .

Vậy đường thẳng $A B$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $C D$ trên mặt phẳng $(S A B)$ .

• Ta có:

$A$ là hình chiếu vuông góc của điểm $D$ trên mặt phẳng $(S A B)$ .

$B$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên mặt phẳng $(S A B)$ .

$S \in (S A B)$

Vậy tam giác $S A B$ là hình chiếu vuông góc của tam giác $S C D$ trên mặt phẳng $(S A B)$ .

Hoạt động 6

Cho đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và $b$ là đường thẳng không thuộc $(P)$ và không vuông góc với $(P)$ . Lấy hai điểm $A, B$ trên $b$ và gọi $A^{'}, B^{'}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ trên $(P)$ .

a) Xác định hình chiếu $b^{'}$ của $b$ trên $(P)$ .

b) Cho $a$ vuông góc với $b$ , nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng $a$ và $m p (b, b^{'})$ ;

ii) hai đường thẳng $a$ và $b^{'}$ .

c) Cho $a$ vuông góc với $b^{'}$ , nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng $a$ và $m p (b, b^{'})$ ;

ii) giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(α)$ thì $d ⊥ (α)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $A A^{'} ⊥ (P), B B^{'} ⊥ (P), A, B \in b$

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng $b$ trên mặt phẳng $(P)$ là đường thẳng $A^{'} B^{'}$ .

Vậy $b^{'} \equiv A^{'} B^{'}$ .

b) Ta có:

$\begin{array}{l} A A^{'} ⊥ (P) \Rightarrow A A^{'} ⊥ a \\ a ⊥ b \end{array}} \Rightarrow a ⊥ m p (b, b^{'})$

$\begin{array}{l} a ⊥ m p (b, b^{'}) \\ b^{'} \subset m p (b, b^{'}) \end{array}} \Rightarrow a ⊥ b^{'}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l} A A^{'} ⊥ (P) \Rightarrow A A^{'} ⊥ a \\ a ⊥ b^{'} \end{array}} \Rightarrow a ⊥ m p (b, b^{'})$

$\begin{array}{l} a ⊥ m p (b, b^{'}) \\ b \subset m p (b, b^{'}) \end{array}} \Rightarrow a ⊥ b$

Thực hành 5

Cho tứ diện $O A B C$ có $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc. Vẽ đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $(A B C)$ tại $H$ . Chứng minh $A H ⊥ B C$ .

Phương pháp giải:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng bằng $90^{\circ}$ .

Cách 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} O A ⊥ O B \\ O A ⊥ O C \end{array}} \Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C \\ O H ⊥ (A B C) \Rightarrow O H ⊥ B C \\ \Rightarrow B C ⊥ (O A H) \Rightarrow B C ⊥ A H \end{array}$

Vận dụng 3

Nếu cách tìm hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng $A B$ trên trần nhà xuống nền nhà bằng hai dây dọi.

Phương pháp giải:

Sử dụng phép chiếu vuông góc.

Lời giải chi tiết:

Thả dây dọi từ điểm $A$ và đánh dấu điểm $A^{'}$ nơi đầu quả dọi chạm sàn.

Thả dây dọi từ điểm $B$ và đánh dấu điểm $B^{'}$ nơi đầu quả dọi chạm sàn.

Khi đó đoạn thẳng $A^{'} B^{'}$ là hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng $A B$ trên trần nhà xuống nền nhà.