Giải mục 3 trang 64, 65, 66, 67, 68

Luyện tập 5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Để tiết kiệm tiền cho việc nghỉ hưu, anh Nam 35 tuổi, quyết định gửi 36 triệu đồng mỗi năm vào Tài khoản Hưu trí Cá nhân trong vòng 30 năm tới. Giá trị của tài khoản sẽ là bao nhiêu khi anh Nam gửi tiền lần thứ 30? Giả sử lãi suất của tài khoản là 6% mỗi năm, được tính lãi kép hằng năm.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số tiền của niên kim.

Lời giải chi tiết:

Ta có P = 36 (triệu đồng); i = 6% = 0,06; n = 30.

Số tiền của niên kim sau 30 lần gửi tiền là:

$A=36.\frac{{\left(1+0,06\right)}^{30}-1}{0,06}\approx 2846,095$ (triệu đồng).

Vậy giá trị của tài khoản sẽ khoảng 2,846 tỉ đồng khi anh Nam gửi tiền lần thứ 30.

Luyện tập 6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Giải quyết bài toán ở Tình huống mở đầu.

Anh Nam trúng giải xổ số độc đắc trị giá 5 tỉ đồng, và số tiền trúng thưởng này sẽ được trả dần 500 triệu mỗi năm trong vòng 10 năm. Tính giá trị hiện tại của số tiền trúng thưởng nếu anh Nam có thể tìm được một hình thức đầu tư với lãi suất kép 10% mỗi năm.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức giá trị hiện tại V của niên kim.

Lời giải chi tiết:

Ta có: P = 500 (triệu đồng); i = 10% = 0,1; n = 10.

Giá trị hiện tại của số tiền trúng thưởng là:

$V=500.\frac{1-{(1+0,1)}^{-10}}{0,1}\approx 3072,284$ (triệu đồng).

Luyện tập 7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 68 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Ngày 1/1/2021, bác Hùng quyết định gửi 6 triệu đồng vào cuối mỗi quý vào một Tài khoản Hưu trí Cá nhân.

a) Tìm hệ thức truy hồi biểu thị số dư tài khoản của bác Hùng vào cuối mỗi quý nếu lãi suất được giả định là 8% mỗi năm và được tính lãi hằng quý.

b) Sẽ mất bao lâu trước khi giá trị của tài khoản vượt quá 500 triệu đồng?

c) Giá trị của tài khoản sẽ là bao nhiêu sau 25 năm nữa, khi bác Hùng nghỉ hưu?

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $A_n$_­ là số tiền (triệu đồng) trong tài khoản của bác Hùng sau n quý.

Ta có: $A_1=6$

$A_n=\left(1+\frac{0,08}{4}\right)A_{n-1}+6=1,02A_{n-1}+6(n\ge 2)$

b) Ta có: $A\le 500$(triệu đồng); P = 6 (triệu đồng); $i=\frac{8\%}{4}=2\%=0,02.$

Số dư tài khoản của bác Hùng vào cuối mỗi quý sau n lần gửi tiền là:

$A=P.\frac{{\left(1+i\right)}^n-1}{i}=6.\frac{{1,02}^n-1}{0,02}=300.\left({1,02}^n-1\right)$

Theo bài ra ta có

$\begin{array}{c}A\le 500\\ \iff 300.\left({1,02}^n-1\right)\le 500\\ \iff 1,{02}^n\le \frac{8}{3}\\ \iff n\le 49,53\end{array}$

Vậy sẽ mất khoảng 49 quý ứng với 12 năm 1 tháng trước khi giá trị của tài khoản vượt quá 500 triệu đồng.

c) Ta có 25 năm ứng với 100 quý tức n = 100.

Giá trị của tài khoản sẽ là bao nhiêu sau 25 năm nữa, khi bác Hùng nghỉ hưu là:

$A=300(1,{02}^n--1)=300.(1,{02}^{100}--1)\approx 1873,39$ (triệu đồng).