Giải mục 3 trang 67, 68, 69

Hoạt động 4

Cho đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $\left(Q\right)$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa $a$ và cắt $\left(Q\right)$ theo giao tuyến $c$. Trong $\left(Q\right)$ ta vẽ đường thẳng $b$ vuông góc với $c$.

Hỏi:

a) $\left(P\right)$ có vuông góc với $\left(Q\right)$ không?

b) Đường thẳng $b$ vuông góc với $\left(P\right)$ không?

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{c}a\perp \left(Q\right)\\ a\subset \left(P\right)\end{array}\}\Rightarrow \left(P\right)\perp \left(Q\right)$

b) Ta có:

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}a\perp \left(Q\right)\\ b\subset \left(Q\right)\end{array}\}\Rightarrow a\perp b\\ b\perp c\\ a,c\subset \left(P\right)\end{array}\}\Rightarrow b\perp \left(P\right)$

Hoạt động 5

Cho hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left(R\right)$. Gọi $a$ là giao tuyến của $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$. Lấy điểm $M$ trong $\left(R\right)$, vẽ hai đường thẳng $MH$ và $MK$ lần lượt vuông góc với $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$. Hỏi:

a) Hai đường thẳng $MH$ và $MK$ có nằm trong $\left(R\right)$ không?

b) Đường thẳng $a$ có vuông góc với $\left(R\right)$ không?

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}M\in \left(R\right)\\ MH\perp \left(P\right)\\ \left(R\right)\perp \left(P\right)\end{array}\}\Rightarrow MH\subset \left(R\right)\\ \begin{array}{c}M\in \left(R\right)\\ MK\perp \left(Q\right)\\ \left(R\right)\perp \left(Q\right)\end{array}\}\Rightarrow MK\subset \left(R\right)\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{c}MH\perp \left(P\right)\Rightarrow MH\perp a\\ MK\perp \left(Q\right)\Rightarrow MK\perp a\\ MH,MK\subset \left(R\right)\end{array}\}\Rightarrow a\perp \left(R\right)$

Thực hành 2

Tứ diện $ABCD$ có $AB\perp \left(BCD\right)$. Trong tam giác $BCD$ vẽ đường cao $BE$ và $DF$ cắt nhau tại $O$. Trong mặt phẳng $\left(ACD\right)$ vẽ $DK$ vuông góc với $AC$ tại $K$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ACD$. Chứng minh rằng:

a) $\left(ADC\right)\perp \left(ABE\right)$ và $\left(ADC\right)\perp \left(DFK\right)$;

b) $OH\perp \left(ADC\right)$.

Phương pháp giải:

‒ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

‒ Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

+ Cách 1: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

+ Cách 2: sử dụng định lí: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{c}AB\perp \left(BCD\right)\Rightarrow AB\perp CD\\ BE\perp CE\end{array}\}\Rightarrow CD\perp \left(ABE\right)$

Lại có $CD\subset \left(ADC\right)$

Vậy $\left(ADC\right)\perp \left(ABE\right)$

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}AB\perp \left(BCD\right)\Rightarrow AB\perp DF\\ DF\perp BC\end{array}\}\Rightarrow DF\perp \left(ABC\right)\\ \begin{array}{c}\Rightarrow DF\perp AC\\ DK\perp AC\end{array}\}\Rightarrow AC\perp \left(DFK\right)\end{array}$

Lại có $AC\subset \left(ADC\right)$

Vậy $\left(ADC\right)\perp \left(DFK\right)$

b) Ta có:

$\begin{array}{c}\left(ADC\right)\perp \left(ABE\right)\\ \left(ADC\right)\perp \left(DFK\right)\\ \left(ABE\right)\cap \left(DFK\right)=OH\end{array}\}\Rightarrow OH\perp \left(ADC\right)$

Vận dụng 2

Nêu cách đặt một quyển sách lên mặt bàn sao cho tất cả các trang sách đều vuông góc với mặt bàn. 

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Lời giải chi tiết:

Ta mở quyển sách ra và đặt quyển sách lên mặt bàn sao cho hai mép dưới của bìa sách nằm trên mặt bàn.