Giải mục 3 trang 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y)$ . Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0}$ ;

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ ;

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$ .

Phương pháp giải:

Tính tích vô hướng bằng công thức: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$ .

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\vec{u} = \vec{0}$ nên $\vec{u}$ vuông góc với mọi $\vec{v}$ .

Như vậy $\vec{u} . \vec{v} = 0$ .

Mặt khác: $\vec{u} = \vec{0} \Leftrightarrow x = y = 0$ .

$\Rightarrow k (x^{2} + y^{2}) = 0 = \vec{u} . \vec{v}$ .

b) Vì $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng.

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{o}$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} |$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}}$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . | k | . \sqrt{x^{2} + y^{2}} = k (x^{2} + y^{2})$

( $| k | = k$ do $k \geq 0$ ).

c) Vì $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ ngược hướng.

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{o}$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = - | \vec{u} | . | \vec{v} |$

$= - \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}}$

$= - \sqrt{x^{2} + y^{2}} . | k | . \sqrt{x^{2} + y^{2}} = k (x^{2} + y^{2})$

( $| k | = - k$ do $k < 0$ ).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ .

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v}$ .

b) Tính $A B^{2}, O A^{2}, O B^{2}$ theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\vec{O A} = \vec{u} = (x; y)$ nên A(x; y).

Tương tự: do $\vec{O B} = \vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ nên B (x’; y’)

b) Ta có: $\vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A^{2} = {| \vec{O A} |}^{2} = x^{2} + y^{2}$ .

Và $\vec{O B} = (x^{'}; y^{'}) \Rightarrow O B^{2} = {| \vec{O B} |}^{2} = x^{' 2} + y^{' 2}$ .

Lại có: $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (x^{'}; y^{'}) - (x; y) = (x^{'} - x; y^{'} - y)$ .

$\Rightarrow A B^{2} = {| \vec{A B} |}^{2} = {(x^{'} - x)}^{2} + {(y^{'} - y)}^{2}$ .

c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:

$\cos \hat{O} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B}$

Mà $\vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = O A . O B . \cos \hat{O}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = O A . O B . \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{x^{2} + y^{2} + x^{' 2} + y^{' 2} - {(x^{'} - x)}^{2} - {(y^{'} - y)}^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{- (- 2 x^{'} . x) - (- 2 y^{'} . y)}{2} = x^{'} . x + y^{'} . y$ .

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 68 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5)$ , $\vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$ .

Phương pháp giải:

Cho $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ , khi đó: $\vec{u} . \vec{v} = x . x^{'} + y . y^{'}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{u} = (0; - 5)$ , $\vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$ .

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0. \sqrt{3} + (- 5) .1 = - 5$ .

$\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{- 5}{\sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}} . \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}} = - \frac{1}{2}$ .

Vậy $(\vec{u}, \vec{v}) = 120^{o}$ .

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 68 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2}), \vec{w} = (x_{3}; y_{3})$ .

a) Tính $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ của các vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ .

b) So sánh $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ .

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$ .

Phương pháp giải:

Cho $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ , khi đó: $\vec{u} . \vec{v} = x . x^{'} + y . y^{'}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{u} = (x_{1}; y_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}; y_{2})$ , $\vec{w} = (x_{3}; y_{3})$ .

$\Rightarrow \vec{v} + \vec{w} = (x_{2}; y_{2}) + (x_{3}; y_{3}) = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3})$

.

Và: $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$

$= (x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}) + (x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3})$

$= x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ .

b) Vì $x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$

$= (x_{1} . x_{2} + x_{1} . x_{3}) + (y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3})$

$= x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3})$

Nên $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ .

c) Ta có: $\vec{u} = (x_{1}; y_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}; y_{2})$

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} \\ \vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u}$ .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 68 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ .

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$ .

b) Lập hệ PT biết $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ .

c) Nếu vectơ $\vec{A B} (x; y)$ thì $| \vec{A B} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Lời giải chi tiết:

a) $A H ⊥ B C$ và $B H ⊥ C A$

$\Rightarrow (\vec{A H}, \vec{B C}) = 90^{o}$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = 0$ .

Do đó $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$

Tương tự suy ra $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ .

b) Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{A H} = (x - (- 1); y - 2) = (x + 1; y - 2) \\ \vec{B H} = (x - 8; y - (- 1)) = (x - 8; y + 1) \end{cases}$

Ta có: $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B C} = (8 - 8; 8 - (- 1)) = (0; 9)$ .

$(x + 1) .0 + (y - 2) .9 = 0$

$\Leftrightarrow 9. (y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = 2$ .

Lại có: $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ và $\vec{C A} = (- 1 - 8; 2 - 8) = (- 9; - 6)$

$(x - 8) . (- 9) + (y + 1) . (- 6) = 0$

$\Leftrightarrow - 9 x + 72 + 3. (- 6) = 0$

$\Leftrightarrow - 9 x + 54 = 0$

$\Leftrightarrow x = 6$ .

Vậy H có tọa độ (6; 2).

c) Ta có: $\vec{A B} = (8 - (- 1); - 1 - 2) = (9; - 3)$

$\Rightarrow A B = | \vec{A B} | = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{10}$ .

Và $\vec{B C} = (0; 9) \Rightarrow B C = | \vec{B C} | = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9$ ;

$\vec{C A} = (- 9; - 6)$

$\Rightarrow A C = | \vec{C A} | = \sqrt{{(- 9)}^{2} + {(- 6)}^{2}} = 3 \sqrt{13}$ .

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{{(3 \sqrt{13})}^{2} + {(3 \sqrt{10})}^{2} - {(9)}^{2}}{2.3 \sqrt{13} .3 \sqrt{10}} \approx 0, 614$ $\Rightarrow \hat{A} \approx 52, 125^{o}$

$\cos \hat{B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{{(9)}^{2} + {(3 \sqrt{10})}^{2} - {(3 \sqrt{13})}^{2}}{2.9.3 \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ $\Rightarrow \hat{B} \approx 71, 565^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 56, 31^{o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 9$ , $b = 3 \sqrt{13}$ , $c = 3 \sqrt{10}$ , $\hat{A} \approx 52, 125^{o}$ , $\hat{B} \approx 71, 565^{o}$ , $\hat{C} \approx 56, 31^{o}$ .

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ $(\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) .$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\vec{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\vec{F}$ và lực $\vec{F_{1}}$ .

Phương pháp giải:

Khi lực $\vec{F}$ không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc α thì công sinh bởi lực đó là: $A = F . s . \cos α$ .

Lời giải chi tiết:

a)

Gọi $A, A_{1}, A_{2}$ lần lượt là công sinh bởi lực $\vec{F}$ , $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Ta cần chứng minh: $A = A_{1} + A_{2}$ .

Xét lực $\vec{F}$ , công sinh bởi lực $\vec{F}$ là: $A = | \vec{F} | . A B . \cos (\vec{F}, \vec{A B}) = \vec{F} . \vec{A B}$ .

Tương tự, ta có: $A_{1} = \vec{F_{1}} . \vec{A B}$ , $A_{2} = \vec{F_{2}} . \vec{A B}$ .

Áp dụng tính chất của tích vô hướng ta có:

$A_{1} + A_{2} = \vec{F_{1}} . \vec{A B} + \vec{F_{2}} . \vec{A B} = (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) . \vec{A B} = \vec{F} . \vec{A B} = A$ .

b)

Vì $\vec{F_{2}}$ tương ứng vuông góc với phương chuyển động nên $\vec{F_{2}} ⊥ \vec{A B}$ .

Do đó: công sinh bởi lực $\vec{F_{2}}$ là: $A_{2} = \vec{F_{2}} . \vec{A B} = 0$ .

Mà $A = A_{1} + A_{2}$ .

$\Rightarrow A = A_{1}$ .

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ .