Giải mục 3 trang 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 5

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $F (0; \frac{1}{2})$ , đường thẳng $Δ : y + \frac{1}{2} = 0$ và điểm $M (x; y)$ . Để tìm hệ thức giữa x và y sao cho $M$ cách đều F và $Δ$ , một học sinh đã làm như sau:

+) Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M trên $Δ$ ):

$M F = \sqrt{x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2}}, M H = d (M, Δ) = | y + \frac{1}{2} |$

+) Điều kiện để M cách đều F và $Δ$ :

$\begin{array}{l} M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2}} = | y + \frac{1}{2} | \\ \Leftrightarrow x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = {(y + \frac{1}{2})}^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} = 2 y \Leftrightarrow y = \frac{1}{2} x^{2} (*) \end{array}$

Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị của hàm số (*) vừa tìm được có dạng là hàm số bậc 2 khuyết b và c tập hợp các điểm cách đều nhau qua một đường thẳng, đồ thị của hàm bậc 2 này có tên gọi là parabol.

HĐ Khám phá 6

Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn $Δ$ . Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên $p > 0$ .

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F (\frac{p}{2}; 0)$ và $Δ : x + \frac{p}{2} = 0$ .

Xét điểm $M (x; y)$ .

a) Tính MF và $d (M, Δ)$ .

b) Giải thích biểu thức sau:

$M (x; y) \in (P) \Leftrightarrow \sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}} = | x + \frac{p}{2} |$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{F M} = (x - \frac{p}{2}; y) \Rightarrow M F = | \vec{F M} | = \sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}}$ .

$d (M, Δ) = \frac{| x + \frac{p}{2} |}{1} = | x + \frac{p}{2} |$ .

b) M thuộc parabol (P) nên M cách đều F và $Δ$ .

Suy ra $M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow \sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}} = | x - \frac{p}{2} |$ .

Thực hành 3

Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn $Δ : x + 1 = 0$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ phương trình đường chuẩn tìm tọa độ của tiêu điểm (phương trình đường chuẩn có dạng $x + \frac{p}{2} = 0$ .

Bước 2: Viết phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^{2} = 2 p x$ với $M (x; y) \in (P)$ .

Lời giải chi tiết:

Từ phương trình đường chuẩn $Δ : x + 1 = 0$ ta có tiêu điểm $F (1; 0)$ .

Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^{2} = 2 x$ .

Vận dụng 3

Một cổng chào có hình parabol cao 10 m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m.

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi phương trình của parabol một cách tổng quát.

Bước 2: Thay các giả thiết tìm tiêu điểm.

Bước 3: Thay $x = 2$ vào phương trình chính tắc tìm y.

Lời giải chi tiết:

Vẽ lại parabol và chọn hệ trục tọa độ như hình dưới.

Gọi phương trình của parabol là $y^{2} = 2 p x$ .

Ta có chiều cao của cổng $O H = 10$ , chiều rộng tại chân cổng $B D = 2 B H = 5$ .

Vậy điểm B có tọa độ là $B (10; \frac{5}{2})$ .

Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol ta có:

${(\frac{5}{2})}^{2} = 2 p .10 \Rightarrow p = \frac{5}{16}$ , suy ra phương trình parabol có dạng $y^{2} = \frac{5}{8} x$ .

Thay $x = 2$ vào phương trình $y^{2} = \frac{5}{8} x$ ta tìm được $y = C A = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Vậy bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m là $\sqrt{5}$ m.