Giải mục 3 trang 68, 69, 70

HĐ Khám phá 5

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $F\left(0;\frac{1}{2}\right)$, đường thẳng $\Delta :y+\frac{1}{2}=0$ và điểm $M(x;y)$. Để tìm hệ thức giữa x và y sao cho $M$ cách đều  F và $\Delta$, một học sinh đã làm như sau:

+) Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M trên $\Delta$):

$MF=\sqrt{x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2},MH=d\left(M,\Delta \right)=\left|y+\frac{1}{2}\right|$

+) Điều kiện để M cách đều F  và $\Delta$:

$\begin{array}{c}MF=d\left(M,\Delta \right)\iff \sqrt{x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2}=\left|y+\frac{1}{2}\right|\\ \iff x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2={\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2\\ \iff x^2=2y\iff y=\frac{1}{2}{x}^2(\ast )\end{array}$

Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị của hàm số (*) vừa tìm được có dạng là hàm số bậc 2 khuyết b và c tập hợp các điểm cách đều nhau qua một đường thẳng, đồ thị của hàm bậc 2 này có tên gọi là parabol.

HĐ Khám phá 6

Cho parabol (P) có tiêu điểm F  và đường chuẩn $\Delta$. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên $p>0$.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ và $\Delta :x+\frac{p}{2}=0$.

Xét điểm $M(x;y)$.

a) Tính MF và $d\left(M,\Delta \right)$.

b) Giải thích biểu thức sau:

$M(x;y)\in \left(P\right)\iff \sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{FM}=\left(x-\frac{p}{2};y\right)\Rightarrow MF=\left|\overrightarrow{FM}\right|=\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}$.

$d\left(M,\Delta \right)=\frac{\left|x+\frac{p}{2}\right|}{1}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.

b) M thuộc parabol (P) nên M cách đều F và $\Delta$.

Suy ra $MF=d\left(M,\Delta \right)\iff \sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x-\frac{p}{2}\right|$.

Thực hành 3

Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn $\Delta :x+1=0$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ phương trình đường chuẩn tìm tọa độ của tiêu điểm (phương trình đường chuẩn có dạng $x+\frac{p}{2}=0$.

Bước 2: Viết phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ với $M(x;y)\in \left(P\right)$.

Lời giải chi tiết:

Từ phương trình đường chuẩn $\Delta :x+1=0$ ta có tiêu điểm $F\left(1;0\right)$.

Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2x$.

Vận dụng 3

Một cổng chào có hình parabol cao 10 m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m.

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi phương trình của parabol một cách tổng quát.

Bước 2: Thay các giả thiết tìm tiêu điểm.

Bước 3: Thay $x=2$ vào phương trình chính tắc tìm y.

Lời giải chi tiết:

Vẽ lại parabol và chọn hệ trục tọa độ như hình dưới.

Gọi phương trình của parabol là $y^2=2px$.

Ta có chiều cao của cổng $OH=10$, chiều rộng tại chân cổng $BD=2BH=5$.

Vậy điểm B có tọa độ là $B\left(10;\frac{5}{2}\right)$.

Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol ta có:

${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=2p.10\Rightarrow p=\frac{5}{16}$, suy ra phương trình parabol có dạng $y^2=\frac{5}{8}x$.

Thay $x=2$ vào phương trình $y^2=\frac{5}{8}x$ ta tìm được $y=CA=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Vậy bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m là $\sqrt{5}$ m.