Giải mục 3 trang 73, 74, 75

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 73 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị cung cấp được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giả cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}6& khix\in \left(0;1\right]\\ 7& khix\in \left(1;2,5\right]\\ 10& khix\in \left(2,5;5\right]\end{array}$

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử $\left(x_n\right)$ là dãy số bất kì sao cho $x\in \left(1;2,5\right)$ và $lim{x}_n=1$. Tìm $limf\left(x_n\right)$.

b) Giả sử $\left({x_n}^{\prime }\right)$ là dãy số bất kì sao cho ${x_n}^{\prime }\in \left(0;1\right)$ và $lim{x_n}^{\prime }=1$. Tìm $limf\left({x_n}^{\prime }\right)$.

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính giới hạn của hằng số.

Lời giải chi tiết:

a) Khi $x\in \left(1;2,5\right)$ thì $f\left(x_n\right)=7$ nên $limf\left(x_n\right)=lim7=7$.

b) Khi ${x_n}^{\prime }\in \left(0;1\right)$ thì $f\left({x_n}^{\prime }\right)=6$ nên $limf\left({x_n}^{\prime }\right)=lim6=6$.

c) Ta thấy $lim{x}_n=lim{x_n}^{\prime }=1$ nhưng $limf\left(x_n\right)\ne limf\left({x_n}^{\prime }\right)$.

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 75 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}1-2x& khix\le -1\\ x^2+2& khix>-1\end{array}$.

Tìm các giới hạn $\underset{x\to -1^{+}}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to -1^{-}}{lim}f\left(x\right)$ và $\underset{x\to -1}{lim}f\left(x\right)$ (nếu có).

Phương pháp giải:

− Để tính giới hạn $\underset{x\to -1^{+}}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to -1^{-}}{lim}f\left(x\right)$, ta áp dụng định lý về giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số.

− Để tính giới hạn $\underset{x\to -1}{lim}f\left(x\right)$, ta so sánh hai giới hạn $\underset{x\to -1^{+}}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to -1^{-}}{lim}f\left(x\right)$.

                • Nếu $\underset{x\to -1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{lim}f\left(x\right)=L$ thì $\underset{x\to -1}{lim}f\left(x\right)=L$.

                • Nếu $\underset{x\to -1^{+}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to -1^{-}}{lim}f\left(x\right)$ thì không tồn tại $\underset{x\to -1}{lim}f\left(x\right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Giả sử $\left(x_n\right)$ là dãy số bất kì, $x_n>-1$ và $x_n\to -1$. Khi đó $f\left(x_n\right)=x_n^2+2$

Ta có: $limf\left(x_n\right)=lim\left(x_n^2+2\right)$

$=lim{x}_n^2+lim2={\left(-1\right)}^2+2=3$.

Vậy $\underset{x\to -1^{+}}{lim}f\left(x\right)=3$.

Giả sử $\left(x_n\right)$ là dãy số bất kì, $x_n<-1$ và $x_n\to -1$. Khi đó $f\left(x_n\right)=1-2x_n$.

Ta có: $limf\left(x_n\right)=lim\left(1-2x_n\right)=lim1-lim\left(2x_n\right)$

$=lim1-2lim{x}_n=1-2.\left(-1\right)=3$.

Vậy $\underset{x\to -1^{-}}{lim}f\left(x\right)=3$.

b) Vì $\underset{x\to -1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{lim}f\left(x\right)=3$ nên $\underset{x\to -1}{lim}f\left(x\right)=3$.