Giải mục 3 trang 77, 78 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 3

Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ . Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $b$ và song song với $a$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $a$ , vuông góc với $(Q)$ và cắt $b$ tại điểm $J$ . Trong $(P)$ , gọi $c$ là đường thẳng đi qua $J$ , vuông góc với $a$ và cắt $a$ tại điểm $I$ .

Đường thẳng $I J$ có vuông góc với $b$ không? Giải thích.

Phương pháp giải:

Chứng minh $I J$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $b$ .

Lời giải chi tiết:

Gọi $(R)$ là mặt phẳng chứa $a$ và song song với $(Q)$ . Ta có:

$\begin{array}{l} (Q) ∥ (R) \\ (P) \cap (Q) = a^{'} \\ (P) \cap (R) = a \end{array}} \Rightarrow a ∥ a^{'}$

Mà $I J ⊥ a \Rightarrow I J ⊥ a^{'}$

$\begin{array}{l} (P) ⊥ (Q) \\ (P) \cap (Q) = a^{'} \\ I J \subset (P), I J ⊥ a^{'} \end{array}} \Rightarrow I J ⊥ (Q)$

Mà $b \subset (Q) \Rightarrow I J ⊥ b$ .

Thực hành 3

Cho tứ diện $O A B C$ có ba cạnh $O A, O B, O C$ đều bằng $a$ và vuông góc từng đôi một. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) $O A$ và $B C$ ;

b) $O B$ và $A C$ .

Phương pháp giải:

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ .

Tam giác $O B C$ vuông cân tại $O \Rightarrow O M ⊥ B C$

$\begin{array}{l} O A ⊥ O B \\ O A ⊥ O C \end{array}} \Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ O M$

$\Rightarrow d (O A, B C) = O M = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \sqrt{O B^{2} + O C^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

b) Gọi $N$ là trung điểm của $A C$ .

Tam giác $O A C$ vuông cân tại $O \Rightarrow O N ⊥ A C$

$\begin{array}{l} O A ⊥ O B \\ O B ⊥ O C \end{array}} \Rightarrow O B ⊥ (O A C) \Rightarrow O B ⊥ O N$

$\Rightarrow d (O B, A C) = O N = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} \sqrt{O A^{2} + O C^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vận dụng 2

Một căn phòng có trần cao 3,2 m. Tính khoảng cách giữa một đường thẳng $a$ trên trần nhà và đường thẳng $b$ trên sàn nhà.

Phương pháp giải:

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết:

Vì trần nhà và sàn nhà song song với nhau nên đường thẳng $a$ nằm trên trần nhà song song với sàn nhà.

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng $a$ trên trần nhà và đường thẳng $b$ trên sàn nhà bằng khoảng cách giữa trần nhà và sàn nhà. Khoảng cách đó bằng 3,2 m.