Giải mục 3 trang 78, 79

Hoạt động 3

1. Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB=AD$. Giải thích vì sao bốn cạnh của $ABCD$ bằng nhau? Khi đó tứ giác $ABCD$ là hình gì?
2. Cho hình bình hành $ABCD$ như Hình 3.70. Dựa vào dấu hiệu của tam giác cân, hãy bổ sung một điều kiện cho trung tuyến $AO$ để tam giác $ABD$ cân tại $A$. Khi đó tứ giác $ABCD$ là hình gì?

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa và tính chất của hình thoi để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

1. Hình bình hành $ABCD$ có $AB=AD$

Mà theo tính chất của hình bình hành thì các cạnh đối diện bằng nhau

→   $AB=DC=AD=BC$

Vì hình bình hành $ABCD$ có bốn cạnh bằng nhau nên $ABCD$ cũng là hình thoi.

1. Để tam giác $ABD$ cân tại $A$ thì trung tuyến $AO$ phải vuông góc với $BD$.

Khi đó tứ giác $ABCD$ là hình thoi vì có hai đường chéo $AC\perp BD$ và chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Luyện tập 2

Tứ giác nào trong Hình 3.72 là hình thoi?

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thoi để xác định tứ giác nào là hình thoi:

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Lời giải chi tiết:

Tứ giác $ABCD$ không phải là hình thoi bởi vì $BD$ không đi qua trung điểm của $AC$.

Xét tứ giác $MNPQ$, ta có:

$\widehat{NQP}=\widehat{MNQ}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

→   $MN//PQ$

→   Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành

Mà $MP$ và $NQ$ vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

→   Tứ giác $MNPQ$ là hình thoi.

Vận dụng 2

Hình 3.73 cho ta hình ảnh của một chiếc thang nâng thủy lực với khung nâng được lắp đặt từ các thanh giàn bằng nhau, gắn với nhau ở hai đầu và trung điểm mỗi thanh.

a)     Tứ giác $CKDM$ và tứ giác $ABCD$ là hình gì?

b)    Vì sao các đường thẳng $AB,CD,EF$ và $GH$ luôn song song với nhau? Vì sao các điểm $I,K,M,N,O$ luôn thẳng hàng?

c)     Tính chiều cao $OI$ của thang khi $AB=1,6m$ và $AD=2m$

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất hình bình hành và tính chất hình chữ nhật để xác định.

c) Sử dụng định lí Pythagore để tính độ dài BD, từ đó tính OI.

Lời giải chi tiết:

a) Xét tứ giác $CKDM$, ta có:

$CM=MD=DK=KC$ (vì các thanh giàn bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm)

Suy ra tứ giác $CKDM$ là hình thoi.

Xét tứ giác $ABCD$, ta có:

$AD=CB$

Mà $AD$ và $CB$ là hai đường chéo

nên $ABCD$ là hình chữ nhật.

b) Các đường thẳng $AB,CD,EF$ và $GH$ luôn song song với nhau vì các đường thẳng này luôn bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Các điểm $I,K,M,N,O$ luôn thẳng hàng vì các điểm này đều là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành.

c) Vì ABCD là hình chữ nhật nên $AB\perp BD$ do đó tam giác ABD vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD, ta có:

$B{D}^2=A{D}^2-A{B}^2=2^2–1,6^2=1,44$ nên $BD=1,2\left(m\right)$

Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác CDFE, EFHG là hình chữ nhật và BD = DF = FH

Khi đó BD = DF = HF = 1,2m

Mà OI = HB = BD + DF + FH = 1,2 + 1,2 + 1,2 = 3,6 (m)

Vậy OI = 3,6m.