Giải mục 3 trang 83, 84

HĐ 3

Tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)$ tại điểm $x_0$ bất kì trong các trường hợp sau:

a) $f\left(x\right)=c$ (c là hằng số);                       

b) $f\left(x\right)=x.$

Phương pháp giải:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

Lời giải chi tiết:

a) $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{c-c}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}0=0$

b) $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x-x_0}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}1=1$

LT 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x^2+1;$                       

b) $y=kx+c$ (với k, c là các hằng số).

Phương pháp giải:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là $y^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)$

Lời giải chi tiết:

a) Với $x_0$ bất kì, ta có:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^2+1-\left(x_0^2+1\right)}{x-x_0}\\ =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\left(x+x_0\right)=2x_0\end{array}$

Vậy hàm số $y=x^2+1$ có đạo hàm là hàm số $y^{\prime }=2x$

b) Với $x_0$ bất kì, ta có:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{kx+c-\left(k{x}_0+c\right)}{x-x_0}\\ =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{kx-k{x}_0}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{k\left(x-x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}k=k\end{array}$

Vậy hàm số $y=kx+c$ (với k, c là các hằng số) có đạo hàm là hàm số $y^{\prime }=k$