Giải mục 3 trang 84

HĐ Khám phá 2

Một hộp có 10 tấm thẻ giống nhau được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố “Tích các số ghi trên ba thẻ đó là số chẵn”.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định không gian mẫu.

Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi của biến cố.

Bước 3: Tính xác xuất bằng công thức $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$.

Lời giải chi tiết:

Do các tấm thẻ giống nhau, nên lấy 3 tấm từ 10 tấm không quan tâm thứ tự có $C_{10}^3=120$ cách, suy ra $n\left(\Omega \right)=120$.

Gọi A là biến cố “Tích các số ghi trên ba thẻ đó là số chẵn”.

Để tích các số trên thẻ là số chẵn thì ít nhất có 1 thẻ là số chẵn.

Để chọn ra 3 thẻ thuận lợi cho biến cố A ta có 3 khả năng.

+) Khả năng 1: 3 thẻ chọn ra có 1 thẻ có số chẵn và 2 thẻ có số lẻ có $5.C_5^2=50$ khả năng.

+) Khả năng 2: 3 thẻ chọn ra có 2 thẻ có số chẵn và 1 thẻ có số lẻ có $C_5^2.5=50$ khả năng.

+) Khả năng 3: 3 thẻ chọn ra có đều là có số chắn có $C_5^3=10$ khả năng.

Suy ra $n\left(A\right)=50+50+10=110$.

Vậy xác suất của biến cố A là:   $P\left(A\right)=\frac{110}{120}=\frac{11}{12}$

Thực hành 3

Gieo đồng thời 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:

a) “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”.

b) “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biến cố đối của biến cố đã cho.

Bước 2: Xác định xác suất của biến cố đã xác định ở bước 1.

Bước 3: Xác định biến cố ban đầu.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi biến cố A: “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3” là biến cố đối của biến cố "Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3".

Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là $n\left(\Omega \right)=6^3$.

A xảy ra khi mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đều xuất hiện số chấm không chi hết cho 3. Số kết quả thuận lợi cho A là: $n\left(A\right)=4^3$.

Xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4^3}{6^3}=\frac{8}{27}$.

Vậy xác suất của biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3” là $1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}$.

b) Gọi biến cố B: “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 4” là biến cố đối của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”.

Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là $n\left(\Omega \right)=6^3$.

Ta có tập hợp kết quả thuận lợi cho biến cố B như sau: $B=\left\{(1;1;1),(1;1;2)\right\}$. Số kết quả thuận lợi cho B là: $n\left(A\right)=2$.

Xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{6^3}=\frac{1}{108}$.

Vậy xác suất của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4” là $1-\frac{1}{108}=\frac{107}{108}$.

Thực hành 4

Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra:

a) Có ít nhất 1  bi xanh

b) Có ít nhất 2 bi đỏ

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biến cố đối của biến cố đã cho.

Bước 2: Xác định xác suất của biến cố đã xác định ở bước 1.

Bước 3: Xác định biến cố ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là $n\left(\Omega \right)=C_{12}^4=495$.

a) Gọi biến cố A: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh”, suy ra biến cố đối của biến cố A là $\overline{A}$: “Trong 4 viên bi lấy ra không có viên bi xanh nào”.

$\overline{A}$ xảy ra khi 4 viên bi lấy ra chỉ có màu đỏ hoặc vàng. Số kết quả thuận lợi cho $\overline{A}$ là: $n\left(A\right)=C_9^4=126$.

Xác suất của biến cố $\overline{A}$ là: $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{126}{495}=\frac{14}{55}$.

Vậy xác suất của biến cố  A là $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{14}{55}=\frac{41}{55}$.

b) Gọi biến cố B: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 2 bi đỏ”, suy ra biến cố đối của biến cố B là $\overline{B}$: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít hơn 2 bi đỏ”.

$\overline{B}$ xảy ra khi 4 viên bi lấy ra không có bi đỏ hoặc có 1 bi đỏ.

+ Không có bi đỏ: $C_8^4=70$ kết quả.

+ Có 1 bi đỏ: $C_4^1.C_8^3=224$ kết quả.

Số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là: $n\left(B\right)=70+224=294$.

Xác suất của biến cố $\overline{B}$ là: $P\left(\overline{B}\right)=\frac{n\left(\overline{B}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{294}{495}=\frac{98}{165}$.

Vậy xác suất của biến cố B là $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{B}\right)=1-\frac{98}{165}=\frac{67}{165}$.