Giải mục 3 trang 9, 10, 11 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 9 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Biến đổi phương trình tổng quát ax² + bx + c = 0 (a $\neq$ 0) theo các bước tương tự ví dụ 3, ta có:

$\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c = 0 \\ a x^{2} + b x = - c \\ x^{2} + \frac{b}{a} x = \frac{- c}{a} \\ x^{2} + 2. x . \frac{b}{2 a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{- c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2} \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} . \end{array}$

Đặt $Δ = b^{2} - 4 a c$ và gọi là biệt thức của phương trình ( $Δ$ là một chữ cái Hy Lạp, đọc là “đenta”). Ta được ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{Δ}{4 a^{2}}$ . (1)

Giải phương trình (1) theo các hệ số a, b, c trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ$ > 0;

b) $Δ$ = 0

c) $Δ$ < 0.

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình trong từng trường hợp theo hệ số a,b,c.

Lời giải chi tiết:

a) Với $Δ$ > 0 ta có:

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{Δ}{4 a^{2}}$

$x + \frac{b}{2 a} = \sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}}$ hoặc $x + \frac{b}{2 a} = - \sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}}$

$x = \sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}} - \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{Δ}}{2 a} - - \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{Δ} - b}{2 a}$ hoặc $x = - \sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}} - \frac{b}{2 a} = - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a} - - \frac{b}{2 a} = \frac{- \sqrt{Δ} - b}{2 a}$

Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x₁ = $\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2}$ , x₂ = $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2}$ .

b) Với $Δ$ = 0 ta có:

$\begin{array}{l} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0 \\ x + \frac{b}{2 a} = 0 \\ x = - \frac{b}{2 a} \end{array}$

Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = $- \frac{b}{2 a}$ .

c) Với $Δ$ < 0 ta có:

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{Δ}{4 a^{2}}$ (Vô lí)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 10 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Giải các phương trình sau:

a) $3 x^{2} - x + 2 = 0$

b) $- 3 t^{2} + t + 6 = 0$

c) $3 x^{2} - 6 x + 3 = 0$

Phương pháp giải:

Dựa vào: Cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

- Nếu $Δ$ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ ;

- Nếu $Δ$ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ ;

- Nếu $Δ$ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) $3 x^{2} - x + 2 = 0$

Phương trình có a = 3, b = -1, c = 2

$Δ = (- 1)^{2} - 4.3.2 = - 23 < 0$

Phương trình vô nghiệm

b) $- 3 t^{2} + t + 6 = 0$

Phương trình có a = -3, b = 1, c = 6

$Δ = 1^{2} - 4. (- 3) .6 = 73 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{1 - \sqrt{73}}{6}, x_{2} = \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$ .

c) $3 x^{2} - 6 x + 3 = 0$

Phương trình có a = 3, b = -6, c = 3

$Δ = (- 6)^{2} - 4.3.3 = 0$

Phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = 1$ .

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 10 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Qua phân tích dữ liệu tại một cửa hàng tiện lợi, người ta thấy rằng nếu tăng giá bán của một loại nước ngọt thêm x (nghìn đồng) thì lợi nhuận P (nghìn đồng) thu về trong một tuần sau đó tính được theo công thức:

$P = - 20 x^{2} + 80 x + 3300$

Hỏi cửa hàng phải tăng giá của loại nước ngọt đó thêm bao nhiêu để lợi nhuận thu về trong tuần sau đó đạt mức 3380000 đồng?

Phương pháp giải:

Giải $- 20 x^{2} + 80 x + 3300 = 3380$ để tìm x.

Dựa vào: Cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

- Nếu $Δ$ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ ;

- Nếu $Δ$ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ ;

- Nếu $Δ$ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Giải phương trình:

$- 20 x^{2} + 80 x + 3300 = 3380$ (x > 0)

Ta có : $Δ = 80^{2} - 4. (- 20) . (- 80) = 0$

Suy ra phương trình có nghiệm kép x = 800.

Vậy cửa hàng phải tăng giá của loại nước ngọt đó thêm 800 nghìn đồng.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 11 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Dùng công thức nghiệm thu gọn giải cá phương trình sau:

a) $3 x^{2} - 6 x + 5 = 0$

b) $y^{2} + 4 y - 7 = 0$

c) $x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 7 = 0$

Phương pháp giải:

Dựa vào: Cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ , khi b = 2b’ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c = {(2 b^{'})}^{2} - 4 a c = 4 (b^{' 2} - a c)$ .

Đặt $Δ^{'} = b^{' 2} - a c$ , ta được $Δ = 4 Δ^{'}$

- Nếu $Δ$ ’> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a}, x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a}$ ;

- Nếu $Δ$ ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b^{'}}{a}$ ;

- Nếu $Δ$ ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) $3 x^{2} - 6 x + 5 = 0$

Phương trình có a = 3, b’ = - 3, c = 5.

$Δ^{'} = (- 3)^{2} - 3.5 = - 6 < 0$

Phương trình vô nghiệm.

b) $y^{2} + 4 y - 7 = 0$

Phương trình có a = 1, b’ = 2, c = -7.

$Δ^{'} = 2^{2} - 1. (- 7) = 11 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $y_{1} = - 2 + \sqrt{11}, y_{2} = - 2 - \sqrt{11}$ .

c) $x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 7 = 0$

Phương trình có a = 1, b’ = $- 2 \sqrt{2}$ , c = 7.

$Δ^{'} = {(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 1.7 = 1 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = 2 \sqrt{2} + 1, x_{2} = 2 \sqrt{2} - 1$ .

VD3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 11 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Một đàn gấu mèo được thả vào một khu rừng. Sau t tháng, số lượng gấu mèo trong đàn được ước lượng bởi công thức $P (t) = 4 t^{2} + 30 t + 100$ (nguồn: Chris Kirkpatrick Barbara Alldred, Crystal Chilvers, Beverly Farahani, Kristina Farentino, Angelo Lillo, lan Macpherson,John Rodger, Susanne Trew, Advanced Function, Nelson 2012, p.86). Theo công thức này, khi nào số các thể của đàn lên đến 200 con?

Phương pháp giải:

Giải phương trình $4 t^{2} + 30 t + 100 = 200$ tìm t

Dựa vào: Cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ , khi b = 2b’ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c = {(2 b^{'})}^{2} - 4 a c = 4 (b^{' 2} - a c)$ .

Đặt $Δ^{'} = b^{' 2} - a c$ , ta được $Δ = 4 Δ^{'}$

- Nếu $Δ$ ’> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a}, x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a}$ ;

- Nếu $Δ$ ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b^{'}}{a}$ ;

- Nếu $Δ$ ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Thay P(t) = 200 vào $P (t) = 4 t^{2} + 30 t + 100$ ta được

$\begin{array}{l} 4 t^{2} + 30 t + 100 = 200 \\ 4 t^{2} + 30 t - 100 = 0 \end{array}$

Ta có $Δ^{'} = 15^{2} - 4. (- 100) = 625 > 0, \sqrt{Δ^{'}} = 25$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $t_{1} = \frac{5}{2} = 2, 5 (T M), t_{2} = - 10 (L)$

Vậy sau 2,5 tháng thì số các thể của đàn lên đến 200 con.

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 12 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Giải các phương trình sau:

a) $2 x^{2} + 3 x - 7 = x (x + 3)$

b) $\frac{x (x - 1)}{3} + 2 = \frac{x + 5}{4}$ .

Phương pháp giải:

Biến đổi đưa về dạng $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ rồi giải phương trình.

Dựa vào: Cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ , khi b = 2b’ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c = {(2 b^{'})}^{2} - 4 a c = 4 (b^{' 2} - a c)$ .

Đặt $Δ^{'} = b^{' 2} - a c$ , ta được $Δ = 4 Δ^{'}$

Nếu $Δ$ ’> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a}, x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a}$ ;

Nếu $Δ$ ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b^{'}}{a}$ ;

Nếu $Δ$ ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) $2 x^{2} + 3 x - 7 = x (x + 3)$

$\begin{array}{l} 2 x^{2} + 3 x - 7 = x^{2} + 3 x \\ 2 x^{2} + 3 x - 7 - x^{2} - 3 x = 0 \\ x^{2} - 7 = 0 \\ x^{2} - 7 = 0 \\ x^{2} - 7 = 0 \\ x^{2} = 7 \\ x = \pm \sqrt{7} \end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_{1} = \sqrt{7}, x_{2} = - \sqrt{7}$

b) $\frac{x (x - 1)}{3} + 2 = \frac{x + 5}{4}$ .

$\begin{array}{l} 4 x (x - 1) + 2.3.4 = 3 (x + 5) \\ 4 x^{2} - 4 x + 24 - 3 x - 15 = 0 \\ 4 x^{2} - 7 x + 9 = 0 \end{array}$

$Δ^{'} = (- 7)^{2} - 4.4.9 = - 95 < 0$

Vậy phương trình vô nghiệm.

VD4

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 12 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Một bức tranh được treo bởi một khung tranh có chiều dài 80 cm, chiều rộng 60 cm và viền khung rộng x (cm) như Hình 6.6.

a) Viết biểu thức biểu thị diện tích của bức tranh.

b) Tìm x, biết diện tích bức tranh là 0,3996 m².

Phương pháp giải:

Theo đề bài ta có chiều rộng bức tranh là 60 – x (cm), 80 – x (cm).

Dựa vào công thức diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng lập phương trình ẩn x.

Dựa vào: Cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Nếu $Δ$ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ ;

Nếu $Δ$ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ ;

Nếu $Δ$ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) Theo đề bài ta có chiều rộng bức tranh là 60 – x (cm), chiều dài là 80 – x (cm).

Biểu thức biểu thị diện tích của bức tranh là:

S = (60 – x).(80 – x) = $- x^{2} - 140 x + 4800 = 0$ .

b) Biết diện tích bức tranh là 0,3996 m² = 3996 cm² ta có:

$\begin{array}{l} - x^{2} - 140 x + 4800 = 3996 (x > 0) \\ - x^{2} - 140 x + 804 = 0 \end{array}$

Ta có $Δ = (- 140)^{2} - 4. (- 1) .804 = 22816, \sqrt{Δ} \approx 151$ .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = 145, 5 (L), x_{2} = 5, 5 (T M)$ .