Giải mục 3 trang 97, 98, 99 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Hoạt động 3

Cho hình chóp $S . O A B$ thoả mãn $(A O S) ⊥ (A O B)$ , $\hat{A O S} = \hat{A O B} = 90^{\circ}$ (Hình 51).

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(A O S)$ và $(A O B)$ là đường thẳng nào?

b) $S O$ có vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng $(A O S)$ và $(A O B)$ hay không?

c) $S O$ có vuông góc với mặt phẳng $(A O B)$ hay không?

Phương pháp giải:

‒ Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta có 2 cách:

+ Cách 1: Tìm 2 điểm chung phân biệt. Giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung.

+ Cách 2: Tìm 1 điểm chung và 2 đường thẳng song song nằm trên mỗi mặt phẳng. Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó.

‒ Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} A \in (A O S) \cap (A O B) \\ O \in (A O S) \cap (A O B) \end{array}} \Rightarrow A O = (A O S) \cap (A O B)$

b) $\hat{A O S} = 90^{\circ} \Rightarrow S O ⊥ A O$

Vậy $S O$ có vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng $(A O S)$ và $(A O B)$ .

c) $\hat{A O S} = 90^{\circ} \Rightarrow S O ⊥ A O$

$\hat{A O B} = 90^{\circ} \Rightarrow A O ⊥ B O$

Vậy $\hat{S O B}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[S, A O, B]$

Vì $(A O S) ⊥ (A O B)$ nên $\hat{S O B} = 90^{\circ}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S O ⊥ O B \\ S O ⊥ O A \end{array}} \Rightarrow S O ⊥ (A O B)$

Luyện tập 3

Cho tứ diện $A B C D$ có $(A B D) ⊥ (B C D)$ và $C D ⊥ B D$ . Chứng minh rằng tam giác $A C D$ vuông.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 2: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l} (A B D) ⊥ (B C D) \\ (A B D) \cap (B C D) = B D \\ C D \subset (B C D) \\ C D ⊥ B D \end{array}} \Rightarrow C D ⊥ (A B D) \Rightarrow C D ⊥ A D$

Vậy tam giác $A C D$ vuông tại $D$ .

Hoạt động 4

Trong Hình 54, hai bìa của cuốn sách gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc với mặt bàn. Hãy dự đoán xem gáy sách có vuông góc với mặt bàn hay không.

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

Gáy sách vuông góc với mặt bàn.

Luyện tập 4

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ S B, S B ⊥ S C, S C ⊥ S A$ . Chứng minh rằng:

a) $(S A B) ⊥ (S B C)$ ;

b) $(S B C) ⊥ (S C A)$ ;

c) $(S C A) ⊥ (S A B)$ .

Phương pháp giải:

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S A ⊥ S B \\ S A ⊥ S C \end{array}} \Rightarrow S A ⊥ (S B C) \\ S A \subset (S A B) \end{array}} \Rightarrow (S A B) ⊥ (S B C)$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S A ⊥ S B \\ S A ⊥ S C \end{array}} \Rightarrow S A ⊥ (S B C) \\ S A \subset (S C A) \end{array}} \Rightarrow (S C A) ⊥ (S B C)$

c) Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S A ⊥ S B \\ S B ⊥ S C \end{array}} \Rightarrow S B ⊥ (S C A) \\ S B \subset (S A B) \end{array}} \Rightarrow (S A B) ⊥ (S C A)$