Giải mục 4 trang 116, 117

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 116 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho ba mặt phẳng song song $\left(P\right),\left(Q\right),\left(R\right)$ lần lượt cắt hai đường thăng $a$ và $a^{\prime }$ tại các điểm $A,B,C$ và $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. Gọi $B_1$ là giao điểm của $A{C}^{\prime }$ với $\left(Q\right)$ (Hình 12).

a) Trong tam giác $AC{C}^{\prime }$, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $\frac{AB}{BC}$ và $\frac{A{B}_1}{B_1{C}^{\prime }}$?

b) Trong tam giác $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }$, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $\frac{A{B}_1}{B_1{C}^{\prime }}$ và $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$?

c) Từ đó, nêu nhận xét về mối liên hệ giữa các tỉ số $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }},\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }},\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Phương pháp giải:

‒ Sử dụng định lí 3: Cho hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ song song với nhau. Nếu $\left(R\right)$ cắt $\left(P\right)$ thì cắt $\left(Q\right)$ và hai giao tuyến của chúng song song.

‒ Sử dụng định lí Thalès trong tam giác.

‒ Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{c}\left(Q\right)\parallel \left(R\right)\\ \left(AC{C}^{\prime }\right)\cap \left(Q\right)=B{B}_1\\ \left(AC{C}^{\prime }\right)\cap \left(R\right)=C{C}^{\prime }\end{array}\}\Rightarrow B{B}_1\parallel C{C}^{\prime }\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{A{B}_1}{B_1{C}^{\prime }}\left(1\right)$.

b) Ta có:

$\begin{array}{c}\left(P\right)\parallel \left(Q\right)\\ \left(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\cap \left(Q\right)=B{B}_1\\ \left(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\cap \left(P\right)=A{A}^{\prime }\end{array}\}\Rightarrow B{B}_1\parallel A{A}^{\prime }\Rightarrow \frac{A{B}_1}{B_1{C}^{\prime }}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{B^{\prime }{C}^{\prime }}\left(2\right)$.

c) Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AB}{BC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{B^{\prime }{C}^{\prime }}\Rightarrow \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AB+BC}{A^{\prime }{B}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Vậy $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 117 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=9,SB=12,SC=15$. Trên cạnh $SA$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $SM=4,MN=3,N4=2$. Vẽ hai mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left(ABC\right)$, lần lượt đi qua $M,N$, cắt $SB$ theo thứ tự tại $M^{\prime },N^{\prime }$ và cắt $SC$ theo thứ tự tại $M^{\prime \prime },N^{\prime \prime }$. Tính độ dài các đoạn thẳng $S{M}^{\prime },M^{\prime }{N}^{\prime },M^{\prime \prime }{N}^{\prime \prime },N^{\prime \prime }C$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí Thalès trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left(M{M}^{\prime }{M}^{\prime \prime }\right)\parallel \left(N{N}^{\prime }{N}^{\prime \prime }\right)\parallel \left(ABC\right)$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{SM}{SA}=\frac{S{M}^{\prime }}{SB}\iff S{M}^{\prime }=\frac{SM.SB}{SA}=\frac{4.12}{9}=\frac{16}{3}$

$\frac{SA}{SB}=\frac{MN}{M^{\prime }{N}^{\prime }}\iff M^{\prime }{N}^{\prime }=\frac{MN.SB}{SA}=\frac{3.12}{9}=4$

$\frac{SA}{SC}=\frac{MN}{M^{\prime \prime }{N}^{\prime \prime }}\iff M^{\prime \prime }{N}^{\prime \prime }=\frac{MN.SC}{SA}=\frac{3.15}{9}=5$

$\frac{SA}{SC}=\frac{NA}{N^{\prime \prime }C}\iff N^{\prime \prime }C=\frac{NA.SC}{SA}=\frac{2.15}{9}=\frac{10}{3}$