Giải mục 4 trang 18, 19 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 3

Khi chưa có máy tính, người ta thường tính các lôgarit dựa trên bảng giá trị các lôgarit thập phân đã được xây dựng sẵn. Chẳng hạn, để tính $x = \log_{2} 15$ , người ta viết $2^{x} = 15$ rồi lấy lôgarit thập phân hai vế, nhận được $x \log 2 = \log 15$ hay $x = \frac{\log 15}{\log 2}$ .

Sử dụng cách làm này, tính $\log_{a} N$ theo $\log a$ và $\log N$ với $a, N > 0, a \neq 1$ .

Phương pháp giải:

Biến đổi rồi lấy lôgarit thập phân hai vế.

Lời giải chi tiết:

Đặt $x = \log_{a} N \Leftrightarrow a^{x} = N \Leftrightarrow \log a^{x} = \log N$

$\Leftrightarrow x \log a = \log N \Leftrightarrow x = \frac{\log N}{\log a}$ .

Vậy $\log_{a} N = \frac{\log N}{\log a}$ .

Thực hành 4

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\log_{\frac{1}{4}} 8$ ;

b) $\log_{4} 5. \log_{5} 6. \log_{6} 8$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đổi cơ số.

Lời giải chi tiết:

a) $\log_{\frac{1}{4}} 8 = \log_{2^{- 2}} 2^{3} = \frac{3}{- 2} \log_{2} 2 = - \frac{3}{2}$ .

b) $\log_{4} 5. \log_{5} 6. \log_{6} 8 = \log_{4} 5. \frac{\log_{4} 6}{\log_{4} 5} . \frac{\log_{4} 8}{\log_{4} 6}$

$= \log_{4} 8 = \log_{2^{2}} 2^{3} = \frac{3}{2} \log_{2} 2 = \frac{3}{2}$ .

Thực hành 5

Đặt $\log_{3} 2 = a$ , $\log_{3} 7 = b$ . Biểu thị $\log_{12} 21$ theo $a$ và $b$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đổi cơ số, đưa về lôgarit cơ số 3.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\log_{12} 21 = \frac{\log_{3} 21}{\log_{3} 12} = \frac{\log_{3} (7.3)}{\log_{3} (2^{2} .3)}$

$= \frac{\log_{3} 7 + \log_{3} 3}{\log_{3} 2^{2} + \log_{3} 3} = \frac{\log_{3} 7 + 1}{2 \log_{3} 2 + 1} = \frac{b + 1}{2 a + 1}$ .