Giải mục 4 trang 18, 19

Hoạt động 3

Khi chưa có máy tính, người ta thường tính các lôgarit dựa trên bảng giá trị các lôgarit thập phân đã được xây dựng sẵn. Chẳng hạn, để tính $x={\log }_{2}15$, người ta viết $2^x=15$ rồi lấy lôgarit thập phân hai vế, nhận được $x\log 2=\log 15$ hay $x=\frac{\log 15}{\log 2}$.

Sử dụng cách làm này, tính ${\log }_{a}N$ theo $\log a$ và $\log N$ với $a,N>0,a\ne 1$.

Phương pháp giải:

Biến đổi rồi lấy lôgarit thập phân hai vế.

Lời giải chi tiết:

Đặt $x={\log }_{a}N\iff a^x=N\iff \log a^x=\log N$

$\iff x\log a=\log N\iff x=\frac{\log N}{\log a}$.

Vậy ${\log }_{a}N=\frac{\log N}{\log a}$.

Thực hành 4

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) ${\log }_{\frac{1}{4}}8$;                             

b) ${\log }_{4}5.{\log }_{5}6.{\log }_{6}8$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đổi cơ số.

Lời giải chi tiết:

a) ${\log }_{\frac{1}{4}}8={\log }_{2^{-2}}{2}^3=\frac{3}{-2}{\log }_{2}2=-\frac{3}{2}$.

b) ${\log }_{4}5.{\log }_{5}6.{\log }_{6}8={\log }_{4}5.\frac{{\log }_{4}6}{{\log }_{4}5}.\frac{{\log }_{4}8}{{\log }_{4}6}$

$={\log }_{4}8={\log }_{2^2}{2}^3=\frac{3}{2}{\log }_{2}2=\frac{3}{2}$.

Thực hành 5

Đặt ${\log }_{3}2=a$, ${\log }_{3}7=b$. Biểu thị ${\log }_{12}21$ theo $a$ và $b$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đổi cơ số, đưa về lôgarit cơ số 3.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${\log }_{12}21=\frac{{\log }_{3}21}{{\log }_{3}12}=\frac{{\log }_3\left(7.3\right)}{{\log }_3\left(2^2.3\right)}$

$=\frac{{\log }_{3}7+{\log }_{3}3}{{\log }_3{2}^2+{\log }_{3}3}=\frac{{\log }_{3}7+1}{2{\log }_{3}2+1}=\frac{b+1}{2a+1}$.