Giải mục 4 trang 19, 20

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 19 SGK Toán 11 Cánh diều

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt $a+b=u$; $a-b=v$ rồi biến đổi các biểu thức sau thành tích: $\cos u+\cos v$; $\cos u-\cos v$; $\sin u+\sin v$; $\sin u-\sin v$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức biến tích thành tổng để biến đổi.

Lời giải chi tiết:

$\cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right]$

$\iff 2\cos a.\cos b=\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)$

$\iff 2\cos \frac{u+v}{2}.\cos \frac{u-v}{2}=\cos u+\cos v$.

$\sin a.\sin b=-\frac{1}{2}.\left[\cos \left(a+b\right)-\cos \left(a-b\right)\right]$

$\iff -2.\sin a.\sin b=\cos \left(a+b\right)-\cos \left(a-b\right)$

$\iff -2.\sin \frac{u+v}{2}.\sin \frac{u-v}{2}=\cos u-\cos v$.

$\sin a.\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right]$

$\iff 2\sin a.\cos b=\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)$

$\iff 2\sin \frac{u+v}{2}.\cos \frac{u-v}{2}=\sin u+\sin v$.

$\sin \left(a+b\right)-\sin \left(a-b\right)$

$=\sin a.\cos b+\cos a.\sin b-\sin a.\cos b+\cos a.\sin b$

$=2\cos a.\sin b$

$\iff \sin u-\sin v=2.\cos \frac{u+v}{2}.\sin \frac{u-v}{2}$.

LT-VD7

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 7 trang 19 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính $D=\frac{\sin \frac{7\pi }{9}+\sin \frac{\pi }{9}}{\cos \frac{7\pi }{9}-\cos \frac{\pi }{9}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$D=\frac{\sin \frac{7\pi }{9}+\sin \frac{\pi }{9}}{\cos \frac{7\pi }{9}-\cos \frac{\pi }{9}}$

$=\frac{2.\sin \left(\frac{\frac{7\pi }{9}+\frac{\pi }{9}}{2}\right).\cos \left(\frac{\frac{7\pi }{9}-\frac{\pi }{9}}{2}\right)}{-2.\sin \left(\frac{\frac{7\pi }{9}+\frac{\pi }{9}}{2}\right).\sin \left(\frac{\frac{7\pi }{9}-\frac{\pi }{9}}{2}\right)}$

$=-\cot \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.