Giải mục 4 trang 20

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 20 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt $u=a-b,v=a+b$ và viết các công thức nhận được.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $u=a-b;v=a+b$.

Suy ra $u+v=2a\Rightarrow a=\frac{u+v}{2}$;

$u-v=2b\Rightarrow b=\frac{u-v}{2}$.

Do đó:

$\cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$;

$\cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$;

$\sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$;

$\sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 20 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức:

$B=\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}+\cos \frac{11\pi }{9}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$.

Lời giải chi tiết:

$B=\left(\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}\right)+\cos \frac{11\pi }{9}$

$=\left(2\cos \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{5\pi }{9}}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{5\pi }{9}}{2}\right)+\cos \frac{11\pi }{9}$

$=2\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{2\pi }{9}+\cos \frac{11\pi }{9}$

$=\cos \frac{2\pi }{9}+\cos \frac{11\pi }{9}$

$=2\cos \frac{\frac{2\pi }{9}+\frac{11\pi }{9}}{2}\cos \frac{\frac{2\pi }{9}-\frac{11\pi }{9}}{2}$

$=2\cos \frac{13\pi }{18}\cos \frac{\pi }{2}=0$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 20 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp $f_1$ và tần số cao $f_2$ liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm $y=\sin \left(2\pi f_{1}t\right)+\sin \left(2\pi f_{2}t\right)$, ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).

a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$.

Lời giải chi tiết:

a) Khi nhấn phím 4, ta có sóng âm:

$y=\sin \left(2\pi .770t\right)+\sin \left(2\pi .1209t\right)$.

b) Ta có: $\sin \left(2\pi .770t\right)+\sin \left(2\pi .1209t\right)$

$=2\sin \frac{2\pi .770t+2\pi .1209t}{2}\cos \frac{2\pi .770t-2\pi .1209t}{2}$

$=2.\sin 1979\pi t.\cos 439\pi t$.