Giải mục 4 trang 23, 24

HĐ4

Cho đồ thị của hàm số $y={\log }_{2}x$ và y = 2 như Hình 6.8. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y={\log }_{2}x$ nằm phía trên đường thẳng y = 2 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{2}x>2$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị.

Lời giải chi tiết:

Khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y={\log }_{2}x$ nằm phía trên đường thẳng y = 2 là $\left(4;+\infty \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{2}x>2$ là $\left(4;+\infty \right)$.

LT4

Giải các bất phương trình sau:

a) ${\log }_{\frac{1}{7}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$;

b) $2\log \left(2x+1\right)>3$.

Phương pháp giải:

Xét bất phương trình dạng ${\log }_{a}x>b$:

+) a > 1, nghiệm của bất phương trình là $x>a^b$.

+) 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là $0<x<a^b$.

Lời giải chi tiết:

a) ${\log }_{\frac{1}{7}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$   (ĐK: $x+1>0;2-x>0\iff -1<x<2$)

$\iff {\log }_{7^{-1}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$

$\iff -{\log }_7\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$

$\iff {\log }_7{\left(x+1\right)}^{-1}>{\log }_7\left(2-x\right)$

$\iff {\left(x+1\right)}^{-1}>2-x$

$\iff \frac{1}{x+1}-2+x>0$

$\iff \frac{1+\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{x+1}>0$

$\iff \frac{1+x^2-x-2}{x+1}>0$

$\iff \frac{x^2-x-1}{x+1}>0$

$\iff x^2-x-1>0$ (vì – 1 < x < 2 nên x + 1 > 0)

$\iff [\begin{array}{c}x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{array}$

KHĐK ta có $[\begin{array}{c}-1<x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}<x<2\end{array}$.

b) $2\log \left(2x+1\right)>3$   (ĐK: $2x+1>0\iff x>\frac{-1}{2}$)

$\iff \log \left(2x+1\right)>\frac{3}{2}$

$\iff 2x+1>{10}^{\frac{3}{2}}=10\sqrt{10}$

$\iff x>\frac{10\sqrt{10}-1}{2}$.

KHĐK ta có $x>\frac{10\sqrt{10}-1}{2}$.

VD

Áp suất khí quyển p (tính bằng kilopascal, viết tắt là kPa) ở độ cao h (so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo công thức sau:

$\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{h}{7}$.

(Theo britannica.com)

a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao 4 km.

b) Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{h}{7}$.

Lời giải chi tiết:

a) Ở độ cao 4km ta có: $\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{4}{7}$

$\iff \frac{p}{100}=e^{\frac{-4}{7}}\iff p=56,4718122$.

Vậy áp suất khí quyển ở độ cao 4 km là 56,4718122 kPa.

b) Ở độ cao trên 10km ta có:

$h>10\iff \ln \left(\frac{p}{100}\right)<-\frac{10}{7}$

$\iff \frac{p}{100}<e^{\frac{-10}{7}}\iff p<23,96510364$.

Vậy ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển bé hơn 29,96510364 kPa.