Giải mục 4 trang 26, 27 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 26 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y = \cos x$ .

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $[- π; π]$ bằng cách tính giá trị của $\cos x$ với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của $\cos x$ với những x âm.

$x$	$- π$	$- \frac{3 π}{4}$	$- \frac{π}{2}$	$- \frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3 π}{4}$	$π$
$\cos x$	?	?	?	?	?	?	?	?	?

Bằng cách lấy nhiều điểm $M (x; \cos x)$ với $x \in [- π; π]$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $[- π; π]$ .

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ $T = 2 π$ , ta được đồ thị của hàm số $y = \cos x$ như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cos x$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ.

Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là $D = R$ .

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: $f (- x) = \cos (- x) = \cos x = f (x), \forall x \in D$ .

Vậy $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

b)

$x$	$- π$	$- \frac{3 π}{4}$	$- \frac{π}{2}$	$- \frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3 π}{4}$	$π$
$\cos x$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$0$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	0	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- 1$

c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số $y = \cos x$ có tập xác định là $R$ , tập giá trị là [-1;1] và đồng biến trên mỗi khoảng $(- π + k 2 π; k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k 2 π; π + k 2 π), k \in Z$ .

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 27 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tìm tập giá trị của hàm số $y = - 3 \cos x$ .

Phương pháp giải:

Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là $D = R$ .

Vì $- 1 \leq \cos x \leq 1$ $\Rightarrow$ Tập giá trị của hàm số $y = - 3 \cos x$ là $T = [- 3; 3]$ .

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 27 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trong vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức $x (t) = A \cos (ω t + φ)$ , trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), $ω t + φ$ là pha dao động tại thời điểm t và $φ \in [- π; π]$ là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kỳ $T = \frac{2 π}{ω}$ (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).

Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình $x (t) = - 5 \cos 4 π t$ (cm).

a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.

b) Tính pha của dao động tại thời điểm $t = 2$ (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Phương pháp giải:

Dựa vào phương trình tổng quát để xác định: Biên độ dao động, Pha dao động tại thời điểm t, Pha ban đầu.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $- 5 \cos 4 π t = 5 \cos (4 π t + π)$ .

Biên độ dao động $A = 5 > 0$ ; Pha ban đầu của dao động: $φ = π$ .

b) Pha dao động tại thời điểm $t = 2$ là:

$ω t + φ = 4 π .2 + π = 9 π$ .

Chu kỳ $T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{4 π} = 0, 5$ .

Trong khoảng thời gian 2 giây, số dao động toàn phần vật thực hiện được là: $\frac{2}{0, 5} = 4$ (dao động).