Giải mục 4 trang 30, 31, 32

Khảo sát hàm số (y = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}(a ne 0,m ne 0), đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 32 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = x - \frac{1}{x}$ ;

b) $y = - x + 2 - \frac{1}{x + 1}$ ;

c) $y = \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1}$ .

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số.

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số.

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) $y = x - \frac{1}{x}$

* Tập xác định: $D = R ∖ {0}$ .

* Chiều biến thiên:

$y^{'} = 1 + \frac{1}{x^{2}} \geq 0 \forall x \in D$ nên hàm số đồng biến trên D.

* Giới hạn và tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (x - \frac{1}{x}) = + \infty; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (x - \frac{1}{x}) = - \infty$ .

$a = lim_{x \to + \infty} (1 - \frac{1}{x^{2}}) = 1; b = lim_{x \to + \infty} (x - \frac{1}{x} - x) = 0$ nên y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$lim_{x \to 0^{+}} y = lim_{x \to 0^{+}} (x - \frac{1}{x}) = - \infty; lim_{x \to 0^{-}} y = lim_{x \to 0^{-}} (x - \frac{1}{x}) = + \infty$ nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

* Bảng biến thiên:

Ta $y = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1;0).

b) $y = - x + 2 - \frac{1}{x + 1}$

Tập xác định: $D = R ∖ {- 1}$ .

* Chiều biến thiên:

$y^{'} = - 1 + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 0 \end{array}$ .

Trên các khoảng ( $- \infty$ ; -2), (0; $+ \infty$ ) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

* Giới hạn và tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (- x + 2 - \frac{1}{x + 1}) = - \infty; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (- x + 2 - \frac{1}{x + 1}) = + \infty$

$a = lim_{x \to + \infty} (- 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2} + x}) = - 1; b = lim_{x \to + \infty} (- x + 2 - \frac{1}{x + 1} + x) = 2$ nên y = -x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$lim_{x \to - 1^{+}} y = lim_{x \to - 1^{+}} (- x + 2 - \frac{1}{x + 1}) = - \infty; lim_{x \to - 1^{-}} y = lim_{x \to - 1^{-}} (- x + 2 - \frac{1}{x + 1}) = + \infty$ nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

* Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0;1) là giao điểm của y với trục Oy.

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow - x + 2 - \frac{1}{x + 1} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{array}$ .

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm ( $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ; 0) và ( $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ;0).

c) $y = \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1}$

* Tập xác định: $D = R ∖ {- 1}$ .

* Chiều biến thiên:

$y^{'} = \frac{- x^{2} - x - 3}{{(x + 1)}^{2}} < 0$ $\forall x \neq - 1$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ .

* Giới hạn và tiệm cận:

$lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1} = + \infty$ ; $lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1} = - \infty$ .

$lim_{x \to + \infty} (y - (- x)) = lim_{x \to + \infty} (\frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1} - (- x)) = 0$ nên đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$lim_{x \to - 1^{-}} y = lim_{x \to - 1^{-}} \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1} = - \infty$ ; $lim_{x \to - 1^{+}} y = lim_{x \to - 1^{+}} \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1} = + \infty$ nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

* Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

$y = 0 \Leftrightarrow \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 1 \end{array}$

Đồ thị giao trục Ox tại điểm (-2;0) và (1;0).

Đồ thị giao trục Oy tại điểm (0;2).

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm I(-1;1).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = -1 và y = -x.