Giải mục 4 trang 30, 31, 32

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 32 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=x-\frac{1}{x}$;

b) $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$;

c) $y=\frac{-x^2-x+2}{x+1}$.

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số.

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số.

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) $y=x-\frac{1}{x}$

* Tập xác định: $D=R\setminus \left\{0\right\}$.

* Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=1+\frac{1}{x^2}\ge 0\forall x\in D$ nên hàm số đồng biến trên D.

* Giới hạn và tiệm cận:

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}(x-\frac{1}{x})=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}(x-\frac{1}{x})=-\infty$.

$a=\underset{x\to +\infty }{lim}(1-\frac{1}{x^2})=1;b=\underset{x\to +\infty }{lim}(x-\frac{1}{x}-x)=0$ nên y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}y=\underset{x\to 0^{+}}{lim}(x-\frac{1}{x})=-\infty ;\underset{x\to 0^{-}}{lim}y=\underset{x\to 0^{-}}{lim}(x-\frac{1}{x})=+\infty$ nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

* Bảng biến thiên:

Ta $y=0\iff x-\frac{1}{x}=0\iff x=1$.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1;0).

b) $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$

Tập xác định: $D=R\setminus \{-1\}$.

* Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=-1+\frac{1}{{(x+1)}^2}=0\iff [\begin{array}{c}x=-2\\ x=0\end{array}$.

Trên các khoảng ($-\infty$; -2), (0; $+\infty$) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

* Giới hạn và tiệm cận:

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}(-x+2-\frac{1}{x+1})=-\infty ;\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}(-x+2-\frac{1}{x+1})=+\infty$

$a=\underset{x\to +\infty }{lim}(-1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2+x})=-1;b=\underset{x\to +\infty }{lim}(-x+2-\frac{1}{x+1}+x)=2$ nên y = -x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=\underset{x\to -1^{+}}{lim}(-x+2-\frac{1}{x+1})=-\infty ;\underset{x\to -1^{-}}{lim}y=\underset{x\to -1^{-}}{lim}(-x+2-\frac{1}{x+1})=+\infty$ nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

* Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0;1) là giao điểm của y với trục Oy.

Ta có: $y=0\iff -x+2-\frac{1}{x+1}=0\iff [\begin{array}{c}x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{array}$.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm ($\frac{1-\sqrt{5}}{2}$; 0) và ($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$;0).

c) $y=\frac{-x^2-x+2}{x+1}$

* Tập xác định: $D=R\setminus \{-1\}$.

* Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=\frac{-x^2-x-3}{{(x+1)}^2}<0$ $\forall x\ne -1$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$.

* Giới hạn và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{-x^2-x+2}{x+1}=+\infty$; $\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{-x^2-x+2}{x+1}=-\infty$.

$\underset{x\to +\infty }{lim}\left(y-(-x)\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(\frac{-x^2-x+2}{x+1}-(-x)\right)=0$ nên đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to -1^{-}}{lim}y=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\frac{-x^2-x+2}{x+1}=-\infty$; $\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\frac{-x^2-x+2}{x+1}=+\infty$ nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng  của đồ thị hàm số.

* Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

$y=0\iff \frac{-x^2-x+2}{x+1}=0\iff [\begin{array}{c}x=-2\\ x=1\end{array}$

Đồ thị giao trục Ox tại điểm (-2;0) và (1;0).

Đồ thị giao trục Oy tại điểm (0;2).

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm I(-1;1).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = -1 và y = -x.