Giải mục 4 trang 30

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 30 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a) $y = \frac{- x^{2} - 2 x - 2}{x + 1}$

b) $y = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x - 2}$

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$lim_{x \to - 1^{+}} y = lim_{x \to - 1^{+}} (\frac{- x^{2} - 2 x - 2}{x + 1}) = lim_{x \to - 1^{+}} (\frac{- {(x + 1)}^{2} - 1}{x + 1}) = lim_{x \to - 1^{+}} [- (x + 1) - \frac{1}{x + 1}] = - \infty .$

$lim_{x \to - 1^{-}} y = lim_{x \to - 1^{-}} (\frac{- x^{2} - 2 x - 2}{x + 1}) = lim_{x \to - 1^{-}} (\frac{- {(x + 1)}^{2} - 1}{x + 1}) = lim_{x \to - 1^{-}} [- (x + 1) - \frac{1}{x + 1}] = \infty .$

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số.

$lim_{x \to \infty} y = lim_{x \to \infty} (\frac{- x^{2} - 2 x - 2}{x + 1}) = lim_{x \to \infty} [- (x + 1)] - 0 = - \infty$ _.

$lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (\frac{- x^{2} - 2 x - 2}{x + 1}) = lim_{x \to - \infty} [- (x + 1)] - 0 = \infty$ _.

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

$\frac{- x^{2} - 2 x - 2}{x + 1} = - x - 1 + \frac{- 1}{x + 1}$ (Sử dụng phép chia đa thức)

Khi $x \to \pm \infty, \frac{- 1}{x + 1} \to 0$ nên $y = - x - 1$ là tiệm cận xiên của hàm số.

Ta có: $y^{'} = \frac{- (2 x + 2) (x + 1) + (x^{2} + 2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{- x^{2} - 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ _.

$y^{'} = 0 \leftrightarrow - x^{2} - 2 x \leftrightarrow - x (x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0, x = - 2$ _.

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 2, y_{C T} = 2$ _.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0, y_{C D} = - 2$ _.

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng $x = - 1$ , tiệm cận xiên $y = - x - 1$ _.

Giao điểm với trục Oy là $(0, - 2)$ _.

- Tập xác định: D = R \ {2}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$lim_{x \to 2 +} y = lim_{x \to 2 +} (\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x - 2}) = lim_{x \to 2^{+}} (\frac{(x - 3) (x + 1)}{x - 2}) = - \infty$ _.

$lim_{x \to 2^{-}} y = lim_{x \to 2^{-}} (\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x - 2}) = lim_{x \to 2^{-}} (\frac{(x - 3) (x + 1)}{x - 2}) = \infty$ _.

Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số.

$lim_{x \to \infty} y = lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x - 2}) = lim_{x \to \infty} (\frac{(x - 3) (x + 1)}{x - 2}) = \infty$ _.

$lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x - 2}) = lim_{x \to - \infty} (\frac{(x - 3) (x + 1)}{x - 2}) = - \infty$ _.

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x - 2} = x + \frac{- 3}{x + 1}$ _.

_Khi $x \to \pm \infty, \frac{- 3}{x + 1} \to 0$ _nên $y = x$ _{là tiệm cận xiên của hàm số.}

_{Ta có:} $y^{'} = \frac{(2 x - 2) (x - 2) - (x^{2} - 2 x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{x^{2} - 4 x + 7}{{(x - 2)}^{2}} > 0 \forall x \in D$ _.

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định.

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (- $\infty, 2$ ) và (2, $\infty$ ).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.

Giao điểm với trục Oy là (0, $\frac{3}{2}$ ).

Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0).