Giải mục 4 trang 30

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 30 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a) $y=\frac{-x^2-2x-2}{x+1}$

b) $y=\frac{x^2-2x-3}{x-2}$

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a)

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\left(\frac{-x^2-2x-2}{x+1}\right)=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\left(\frac{-{(x+1)}^2-1}{x+1}\right)=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\left[-(x+1)-\frac{1}{x+1}\right]=-\infty .$

$\underset{x\to -1^{-}}{lim}y=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\left(\frac{-x^2-2x-2}{x+1}\right)=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\left(\frac{-{(x+1)}^2-1}{x+1}\right)=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\left[-(x+1)-\frac{1}{x+1}\right]=\infty .$

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số.

$\underset{x\to \infty }{lim}y=\underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{-x^2-2x-2}{x+1}\right)=\underset{x\to \infty }{lim}[-(x+1\left)\right]-0=-\infty$_.

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\frac{-x^2-2x-2}{x+1}\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}[-(x+1\left)\right]-0=\infty$_.

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

$\frac{-x^2-2x-2}{x+1}=-x-1+\frac{-1}{x+1}$ (Sử dụng phép chia đa thức)

Khi $x\to \pm \infty ,\frac{-1}{x+1}\to 0$ nên $y=-x-1$ là tiệm cận xiên của hàm số.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-(2x+2)(x+1)+\left(x^2+2x+2\right)}{{(x+1)}^2}=\frac{-x^2-2x}{{(x+1)}^2}$_.

$y^{\prime }=0\leftrightarrow -x^2-2x\leftrightarrow -x(x+2)=0\leftrightarrow x=0,x=-2$_.

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2,y_{CT}=2$_.

Hàm số đạt cực đại tại $x=0,y_{CD}=-2$_.

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=-x-1$_.

Giao điểm với trục Oy là $(0,-2)$_.

b)

- Tập xác định: D = R \ {2}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to 2+}{lim}y=\underset{x\to 2+}{lim}\left(\frac{x^2-2x-3}{x-2}\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\right)=-\infty$_.

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(\frac{x^2-2x-3}{x-2}\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\right)=\infty$_.

Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số.

$\underset{x\to \infty }{lim}y=\underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{x^2-2x-3}{x-2}\right)=\underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\right)=\infty$_.

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\frac{x^2-2x-3}{x-2}\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\right)=-\infty$_.

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

$\frac{x^2-2x-3}{x-2}=x+\frac{-3}{x+1}$ _.

_Khi $x\to \pm \infty ,\frac{-3}{x+1}\to 0$ _nên $y=x$ _{là tiệm cận xiên của hàm số.}

_{Ta có:} $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x-2)-\left(x^2-2x-3\right)}{{(x-2)}^2}=\frac{x^2-4x+7}{{(x-2)}^2}>0\forall x\in D$_.

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định.

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-$\infty ,2$) và (2, $\infty$).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.

Giao điểm với trục Oy là (0,$\frac{3}{2}$).

Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0).