Giải mục 4 trang 43, 44, 45

HĐ 5

Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , ở đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ với $0 < c < a$ . Ta chọn hệ trục tọa độ $O x y$ có gốc là trung điểm của đoạn thẳng $F_{1} F_{2}$ . Trục $O y$ là đường trung trực của $F_{1} F_{2}$ và $F_{2}$ nằm trên tia $O x$ (Hình 8). Khi đó $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ là các tiêu diểm của elip (E)

Giả sử điểm $M (x; y)$ thuộc elip (E)

Chứng minh rằng:

a) $M {F_{1}}^{2} = x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}$

b) $M {F_{2}}^{2} = x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}$

c) $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2} = 4 c x$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{M F_{1}} = (- c - x; - y) \Rightarrow M {F_{1}}^{2} = {(- c - x)}^{2} + y^{2} = x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}$

b) Ta có: $\vec{M F_{2}} = (c - x; - y) \Rightarrow M {F_{2}}^{2} = {(c - x)}^{2} + y^{2} = x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}$

c) $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2} = (x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}) - (x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}) = 4 c x$

HĐ 6

Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , chứng minh:

a) $M F_{1} - M F_{2} = \frac{2 c}{a} x$

b) $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x$

c) $M F_{2} = a - \frac{c}{a} x$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2} = (M F_{1} - M F_{2}) (M F_{1} + M F_{2}) = (M F_{1} - M F_{2}) .2 a = 4 c x$

$\Rightarrow M F_{1} - M F_{2} = \frac{2 c}{a} x$

b) Ta có: ${\begin{cases} M F_{1} + M F_{2} = 2 a (1) \\ M F_{1} - M F_{2} = \frac{2 c}{a} x (2) \end{cases}$

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: $2 M F_{1} = 2 a + \frac{2 c}{a} x \Rightarrow M F_{1} = a + \frac{c}{a} x$

c) Ta có: $M F_{2} = 2 a - M F_{1} = 2 a - (a + \frac{c}{a} x) = a - \frac{c}{a} x$

VD 4

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Giả sử M là điểm thuộc elip và có hoành độ là 2. Tìm độ dài của các bán kính qua tiêu của điểm M.

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm $M (x, y)$ trên (E) là: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x; M F_{2} = a - \frac{c}{a} x .$

Lời giải chi tiết:

Ta có $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4$ . Do đó $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0, 8$ . Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là:

$M F_{1} = a + \frac{c}{a} x = 5 + 0, 8.2 = 6, 6; M F_{2} = a - \frac{c}{a} x = 5 - 0, 8.2 = 3, 4$

VD 5

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . Giả sử $M (x; y)$ là điểm thuộc elip. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của bán kính qua tiêu $M F_{1}$ và $M F_{2}$

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm $M (x, y)$ trên (E) là: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x; M F_{2} = a - \frac{c}{a} x .$

$M F_{1}$ có giá trị nhỏ nhất là $a - c$ khi $x = - a$ và có giá trị lớn nhất là $a + c$ khi $x = a$

$M F_{2}$ có giá trị nhỏ nhất là $a - c$ khi $x = a$ và có giá trị lớn nhất là $a + c$ khi $x = - a$

Lời giải chi tiết:

Vì $- a \leq x \leq a$ nên $a + \frac{c}{a} (- a) \leq a + \frac{c}{a} x \leq a + \frac{c}{a} (a) \Leftrightarrow a - c \leq M F_{1} \leq a + c$

Vậy $M F_{1}$ có giá trị nhỏ nhất là $a - c$ khi $x = - a$ và có giá trị lớn nhất là $a + c$ khi $x = a$

Tương tự với $M F_{2}$ , ta có $- a \leq x \leq a \Rightarrow a \geq - x \geq - a$ hay $- a \leq x \leq a$ nên $a - \frac{c}{a} (a) \leq a - \frac{c}{a} x \leq a - \frac{c}{a} (- a) \Leftrightarrow a - c \leq M F_{2} \leq a + c$

Vậy $M F_{2}$ có giá trị nhỏ nhất là $a - c$ khi $x = a$ và có giá trị lớn nhất là $a + c$ khi $x = - a$

Bài 3

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ với tiêu điểm $F_{2} (\sqrt{5}; 0)$ . Tìm tọa độ $M \in (E)$ sao cho độ dài $F_{2} M$ nhỏ nhất

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm $M (x, y)$ trên (E) là: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x; M F_{2} = a - \frac{c}{a} x .$

$M F_{1}$ có giá trị nhỏ nhất là $a - c$ khi $x = - a$ và có giá trị lớn nhất là $a + c$ khi $x = a$

$M F_{2}$ có giá trị nhỏ nhất là $a - c$ khi $x = a$ và có giá trị lớn nhất là $a + c$ khi $x = - a$

Lời giải chi tiết:

Elip (E): $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ có $a = 3, b = 2 \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{5}$

Độ dài bán kính qua tiêu $M F_{2} = a - \frac{c}{a} x = 3 - \frac{\sqrt{5}}{3} x .$

Vì $M F_{2}$ có độ dài nhỏ nhất là $a - c$ khi $x = a$ nên

$M F_{2}$ có độ dài nhỏ nhất là $3 - \sqrt{5}$ khi $x = 3.$

Mà $M \in (E)$ $\Rightarrow \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \Rightarrow y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{9}) = 4 (1 - \frac{3^{2}}{9}) = 0$

Vậy $M (3; 0)$ thì $M F_{2}$ có độ dài nhỏ nhất bằng $3 - \sqrt{5}$ .