Giải mục 4 trang 46, 47

HĐ4

Cho điểm $M (x; y)$ trên elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ và hai đường thẳng $Δ_{1} : x + \frac{a}{e} = 0$ và $Δ_{2} : x - \frac{a}{e} = 0$ (Hình 10). Gọi $d (M, Δ_{1}); d (M, Δ_{2})$ lần lượt là khoảng cách từ M đến $Δ_{1}, Δ_{2}$ . Ta có $d (M, Δ_{1}) = | x + \frac{a}{e} | = \frac{| a + e x |}{e} = \frac{a + e x}{e}$ (vì $e > 0$ và $a + e x = M F_{1} > 0$ ).

Suy ra $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})} = \frac{a + e x}{\frac{a + e x}{e}} = e$ .

Dựa theo cách tính trên, hãy tính $\frac{M F_{2}}{d (M, Δ_{2})}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $d (M, Δ_{2}) = | x - \frac{a}{e} | = \frac{| a - e x |}{e} = \frac{a - e x}{e}$ (vì $e > 0$ và $a - e x = M F_{2} > 0$ ).

Suy ra $\frac{M F_{2}}{d (M, Δ_{2})} = \frac{a - e x}{\frac{a - e x}{e}} = e$ .

TH4

Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:

a) $(E_{1}) : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ .

b) $(E_{2}) : \frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

+ Ứng với tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{1} : x + \frac{a}{e} = 0$ .

+ Ứng với tiêu điểm $F_{2} (c; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x - \frac{a}{e} = 0$ .

Lời giải chi tiết:

a) Elip $(E_{1})$ có $a = 2, b = 1$ , suy ra $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{3}, e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

+ Ứng với tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{3}; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{1} : x + \frac{4 \sqrt{3}}{3} = 0$ .

+ Ứng với tiêu điểm $F_{2} (\sqrt{3}; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x - \frac{4 \sqrt{3}}{3} = 0$ .

b) Elip $(E_{2})$ có $a = 10, b = 6$ , suy ra $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 8, e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$ .

+ Ứng với tiêu điểm $F_{1} (- 8; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{1} : x + \frac{25}{2} = 0$ .

+ Ứng với tiêu điểm $F_{2} (8; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x - \frac{25}{2} = 0$ .

VD4

Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{50}{3}$ .

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

+ Tiêu cự: $2 c = 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ .

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: $\frac{2 a}{e}$ .

Lời giải chi tiết:

$0 < b < a)$

+ Tiêu cự: $2 c = 6 \Leftrightarrow c = 3$ .

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: $\frac{2 a}{e} = 2. \frac{a^{2}}{c} = \frac{50}{3} \Rightarrow a^{2} = 25$ .

Hay $a = 5$ , suy ra $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 16$ .

Vậy elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ .