Giải mục 4 trang 47

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 47 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=1+\frac{1}{n}$. Khẳng định $u_n\le 2$ với mọi $n\in N^{\ast }$ có đúng không?

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

$u_n\le 2\iff 1+\frac{1}{n}\le 2\iff \frac{n+1}{n}-2\le 0$

$\iff \frac{n+1-2n}{n}\le 0\iff \frac{-n+1}{n}\le 0$.

Do $n\in N^{\ast }$ nên khẳng định trên là đúng.

LT-VD5

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 5 trang 47 SGK Toán 11 Cánh diều

Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{n^2+1}{2n^2+4}$ là bị chặn.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức về dãy số bị chặn để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

$u_n=\frac{n^2+1}{2n^2+4}<\frac{1}{2}.\frac{n^2+1}{n^2+2}<\frac{1}{2}.(1-\frac{1}{n^2+2})<\frac{1}{2}$.

Lại có $u_n=\frac{n^2+1}{2n^2+4}>0$.

Do đó $0<u_n<\frac{1}{2}$.

Vì vậy dãy số $\left(u_n\right)$ bị chặn.