Giải mục 4 trang 48, 49, 50

KP5

Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong mặt phẳng.

b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong không gian?

Phương pháp giải:

Nhớ lại định nghĩa đã học về góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong mặt phẳng và suy luận ra góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong không gian.

Lời giải chi tiết:

a) Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

b) Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

TH8

Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}),(\overrightarrow{A^{\prime }A},\overrightarrow{C{B}^{\prime }})$.

Phương pháp giải:

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

Lời giải chi tiết:

Góc $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }})$ = góc $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})$ = ${90}^{\circ }$ (góc giữa 2 đường chéo của hình vuông)

$(\overrightarrow{A^{\prime }A},\overrightarrow{C{B}^{\prime }})=(\overrightarrow{B^{\prime }B},\overrightarrow{C{B}^{\prime }})={180}^o-(\overrightarrow{B^{\prime }B},\overrightarrow{B^{\prime }C})={180}^o-{45}^o={135}^o$

KP7

Trả lời câu hỏi Khám phá 7 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian, cho $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ thoả mãn $|\overrightarrow{u}|=2$ , $|\overrightarrow{v}|=3$. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ (Hình 24). Giả sử $\widehat{BAC}={60}^{\circ }$.

a) Tính góc $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

Phương pháp giải:

a) Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

b) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

Lời giải chi tiết:

a) Góc $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ = $\widehat{BAC}={60}^{\circ }$.

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = $AB.AC.\cos \widehat{BAC}=\mathrm{2.3.}\cos {60}^{\circ }=3$.

TH8

Trả lời câu hỏi Thực hành 8 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.

b) Tính góc $(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{A{C}^{\prime }})$ (kết quả làm tròn đến phút).

Phương pháp giải:

a) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

b) Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \widehat{BAC}=1.\sqrt{2}.\cos {45}^{\circ }=1$.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=0$ vì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.

b) Xét tam giác CAC’ vuông tại C:

$AC=\sqrt{2}$; CC’ = 1 => $\tan (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\prime }})=\tan \widehat{C^{\prime }AC}=\frac{C{C}^{\prime }}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{C^{\prime }AC}={35}^{\circ }$.

VD4

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là ${30}^{\circ }$ (Hình 27).

a) Tính độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do $\overrightarrow{g}$ có độ lớn 9,8 $m/s^2$.

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ được tính bởi công thức $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}$. Hãy tính công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức tính trọng lực P = mg.

b) Công thức tính công: $A=Fs\cos \alpha$.

Lời giải chi tiết:

a) Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: $P=mg=25.9,8=245$ N.

b) Công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là:

$A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}=Pd\cos {60}^{\circ }=245.3,5.\frac{1}{2}=428,75$ J.