Giải mục 4 trang 48, 49, 50 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

KP5

Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong mặt phẳng.

b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong không gian?

Phương pháp giải:

Nhớ lại định nghĩa đã học về góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong mặt phẳng và suy luận ra góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong không gian.

Lời giải chi tiết:

a) Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó góc $\hat{B A C}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

b) Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó góc $\hat{B A C}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

TH8

Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc $(\vec{A C}, \vec{B^{'} D^{'}}), (\vec{A^{'} A}, \vec{C B^{'}})$ .

Phương pháp giải:

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó góc $\hat{B A C}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Lời giải chi tiết:

Góc $(\vec{A C}, \vec{B^{'} D^{'}})$ = góc $(\vec{A C}, \vec{B D})$ = $90^{\circ}$ (góc giữa 2 đường chéo của hình vuông)

$(\vec{A^{'} A}, \vec{C B^{'}}) = (\vec{B^{'} B}, \vec{C B^{'}}) = 180^{o} - (\vec{B^{'} B}, \vec{B^{'} C}) = 180^{o} - 45^{o} = 135^{o}$

KP7

Trả lời câu hỏi Khám phá 7 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian, cho $\vec{u}$ và $\vec{v}$ thoả mãn $| \vec{u} | = 2$ , $| \vec{v} | = 3$ . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\vec{A B} = \vec{u}$ , $\vec{A C} = \vec{v}$ (Hình 24). Giả sử $\hat{B A C} = 60^{\circ}$ .

a) Tính góc $(\vec{u}, \vec{v})$ .

b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}$ .

Phương pháp giải:

a) Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó góc $\hat{B A C}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

b) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$ .

Lời giải chi tiết:

a) Góc $(\vec{u}, \vec{v})$ = $\hat{B A C} = 60^{\circ}$ .

b) $\vec{A B} . \vec{A C}$ = $A B . A C . \cos \hat{B A C} = 2.3. \cos 60^{\circ} = 3$ .

TH8

Trả lời câu hỏi Thực hành 8 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A^{'} C^{'}}$ , $\vec{A B} . \vec{C C^{'}}$ .

b) Tính góc $(\vec{A C} . \vec{A C^{'}})$ (kết quả làm tròn đến phút).

Phương pháp giải:

a) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$ .

b) Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó góc $\hat{B A C}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{A B} . \vec{A^{'} C^{'}} = \vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos \hat{B A C} = 1. \sqrt{2} . \cos 45^{\circ} = 1$ .

$\vec{A B} . \vec{C C^{'}} = \vec{A B} . \vec{B B^{'}} = 0$ vì $\vec{A B} ⊥ \vec{B B^{'}}$ .

b) Xét tam giác CAC’ vuông tại C:

$A C = \sqrt{2}$ ; CC’ = 1 => $\tan (\vec{A C}, \vec{A C^{'}}) = \tan \hat{C^{'} A C} = \frac{C C^{'}}{A C} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \hat{C^{'} A C} = 35^{\circ}$ .

VD4

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là $30^{\circ}$ (Hình 27).

a) Tính độ lớn của trọng lực $\vec{P} = m \vec{g}$ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do $\vec{g}$ có độ lớn 9,8 $m / s^{2}$ .

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực $\vec{F}$ có độ dịch chuyển $\vec{d}$ được tính bởi công thức $A = \vec{F} . \vec{d}$ . Hãy tính công sinh bởi trọng lực $\vec{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức tính trọng lực P = mg.

b) Công thức tính công: $A = F s \cos α$ .

Lời giải chi tiết:

a) Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: $P = m g = 25.9, 8 = 245$ N.

b) Công sinh bởi trọng lực $\vec{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là:

$A = \vec{F} . \vec{d} = P d \cos 60^{\circ} = 245.3, 5. \frac{1}{2} = 428, 75$ J.