Giải mục 4 trang 49

Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = frac{1}{n}). So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 49 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{n}$ . So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

$\forall n \in N^{*}$ ta có:

$\begin{array}{l} 1 > 0 \\ n > 0 \end{array}} \Leftrightarrow \frac{1}{n} > 0 \Leftrightarrow u_{n} > 0$ .

$n \geq 1 \Leftrightarrow u_{n} = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{1} \Leftrightarrow u_{n} \leq 1$ .

TH4

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 49 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $(a_{n})$ với $a_{n} = \cos \frac{π}{n}$ ;

b) $(b_{n})$ với $b_{n} = \frac{n}{n + 1}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất của hàm lượng giác.

b) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $- 1 \leq \cos \frac{π}{n} \leq 1, \forall n \in N^{*} \Leftrightarrow - 1 \leq a_{n} \leq 1, \forall n \in N^{*}$ .

Vậy dãy số $(a_{n})$ bị chặn.

b) $\forall n \in N^{*}$ ta có:

$n > 0 \Leftrightarrow n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{n}{n + 1} > 0 \Leftrightarrow b_{n} > 0$ . Vậy $(b_{n})$ bị chặn dưới.

$b_{n} = \frac{n}{n + 1} = \frac{(n + 1) - 1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$

Vì $n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{n + 1} > 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{n + 1} < 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{n + 1} < 1 \Leftrightarrow b_{n} < 1$ . Vậy $(b_{n})$ bị chặn trên.

Ta thấy dãy số $(b_{n})$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $(b_{n})$ bị chặn.