Giải mục 4 trang 53

HĐ 5

Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho $| M F_{1} - M F_{2} | = 2 a$ , ở đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ với $c > a > 0$ . Ta chọn hệ trục tọa độ $O x y$ có gốc là trung điểm của đoạn thẳng $F_{1} F_{2}$ . Trục $O y$ là đường trung trực của $F_{1} F_{2}$ và $F_{2}$ nằm trên tia $O x$ (Hình 16). Khi đó $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ là các tiêu diểm của hypebol (H)

Giả sử điểm $M (x; y)$ thuộc hypebol (H), chứng minh:

a) $M {F_{1}}^{2} = x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}$

b) $M {F_{2}}^{2} = x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}$

c) $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2} = 4 c x$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{M F_{1}} = (- c - x; - y) \Rightarrow M {F_{1}}^{2} = {(- c - x)}^{2} + y^{2} = x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}$

b) Ta có: $\vec{M F_{2}} = (c - x; - y) \Rightarrow M {F_{2}}^{2} = {(c - x)}^{2} + y^{2} = x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}$

c) $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2} = (x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}) - (x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}) = 4 c x$

HĐ 6

Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2} = 4 c x$ và $| M F_{1} - M F_{2} | = 2 a$ , chứng minh $M F_{1} = | a + \frac{c}{a} x | = | a + e x |$ và $M F_{2} = | a - \frac{c}{a} x | = | a - e x |$

Lời giải chi tiết:

+ Ta có: $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2} = (M F_{1} - M F_{2}) (M F_{1} + M F_{2}) = (M F_{1} - M F_{2}) . | 2 a | = 4 c x$

$\Rightarrow M F_{1} - M F_{2} = \frac{2 c}{| a |} x$

+ Ta có: ${\begin{cases} M F_{1} + M F_{2} = | 2 a | (1) \\ M F_{1} - M F_{2} = \frac{2 c}{| a |} x (2) \end{cases}$

Từ (1) và (2) suy ra:

$2 M F_{1} = | 2 a | + \frac{2 c}{| a |} x \Rightarrow M F_{1} = | a | + \frac{c}{| a |} x = | a + \frac{c}{a} x | = | a + e x |$

$M F_{2} = 2 | a | - M F_{1} = 2 | a | - (| a | + \frac{c}{| a |} x) = | a | - \frac{c}{| a |} x$ $= | a - \frac{c}{a} x | = | a - e x |$

LT - VD 3

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: $\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ . Giả sử điểm M là diderm chuẩn thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ trong đó $a > 0, b > 0$ . Khi đó, độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M (x; y)$ là: $M F_{1} = | a + \frac{c}{a} x |$ ; $M F_{2} = | a - \frac{c}{a} x |$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có $a = 12, b = 3, c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{144 + 9} = 3 \sqrt{17}$ .

Do đó $e = \frac{3 \sqrt{17}}{12} = \frac{\sqrt{17}}{4}$ .

Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là:

$M F_{1} = | 12 + \frac{\sqrt{17}}{4} .15 |$ ; $M F_{2} = | 12 - \frac{\sqrt{17}}{4} .15 |$ .