Giải mục 4 trang 54, 55, 56

HĐ4

Cho điểm M (x; y) trên hypebol (H) $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , và hai đường thẳng $Δ_{1} : x + \frac{a}{e} = 0$ và $Δ_{2} : x - \frac{a}{e} = 0$ (Hình 7). Gọi $d (M, Δ_{1}), d (M, Δ_{2})$ lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2} .$

Ta có $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})} = \frac{| a + e x |}{| x + \frac{a}{e} |} = \frac{| a + e x |}{\frac{| a + e x |}{e}} = e$

Dựa theo cách tính trên, tính $\frac{M F_{2}}{d (M, Δ_{2})}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$M F_{2} = | a - e x |$ ; $d (M, Δ_{2}) = | x - \frac{a}{e} |$

$\Rightarrow \frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})} = \frac{| a - e x |}{| x - \frac{a}{e} |} = \frac{| a - e x |}{\frac{| a - e x |}{e}} = e$ ;

Vậy $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})} = \frac{M F_{2}}{d (M, Δ_{2})} = e .$

Thực hành 4

Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:

a) $(H_{1}) : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

b) $(H_{2}) : \frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{64} = 1$

c) $(H_{3}) : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Phương pháp giải:

Cho hypebol $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

+ Ứng với tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{1} : x + \frac{a}{e} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{2} (c; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x - \frac{a}{e} = 0$

Lời giải chi tiết:

a) Hypebol $(H_{1})$ có $a = 2, b = 1$ , suy ra $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{5}, e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{a}{e} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{5}; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{1} : x + \frac{4 \sqrt{5}}{5} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{2} (\sqrt{5}; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x - \frac{4 \sqrt{5}}{5} = 0$

b) Hypebol $(H_{2})$ có $a = 6, b = 8$ , suy ra $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 10, e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}; \frac{a}{e} = \frac{18}{5}$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{1} (- 10; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{1} : x + \frac{18}{5} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{2} (10; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x - \frac{18}{5} = 0$

c) Hypebol $(H_{3})$ có $a = b = 3$ , suy ra $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 3 \sqrt{2}, e = \frac{c}{a} = \sqrt{2}; \frac{a}{e} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{1} (- 3 \sqrt{2}; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{1} : x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{2} (3 \sqrt{2}; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 0$

Vận dụng 5

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{288}{13}$ .

Phương pháp giải:

Cho hypebol (H): $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

+ Tiêu cự: $2 c = 2 \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: $\frac{2 a}{e}$

Lời giải chi tiết:

Gọi hypebol (H) cần tìm là: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . $(0 < b < a)$

+ Tiêu cự: $2 c = 26 \Leftrightarrow c = 13$

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: $\frac{2 a}{e} = 2. \frac{a^{2}}{c} = \frac{288}{13} \Rightarrow a = 12$

Suy ra $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = 5$

Vậy PTCT của (H) là $\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$