Giải mục 4 trang 55, 56, 57 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

HĐ8

Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 55 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng $(P_{1}) : 2 x + 2 y + 2 z + 1 = 0$ (1) và mặt phẳng $(P_{2}) : x + y + z - 1 = 0$ (2).

a) Gọi $\vec{n_{1}} = (2; 2; 2), \vec{n_{2}} = (1; 1; 1)$ lần lượt là vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng $(P_{1}), (P_{2})$ (Hình 14). Tìm liên hệ giữa $\vec{n_{1}}$ và $2 \vec{n_{2}}$ .

b) Tìm các hệ số tự do $D_{1}, D_{2}$ lần lượt trong hai phương trình (1), (2). So sánh $D_{1}$ và $2 D_{2}$ .

c) Nêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(P_{1})$ , $(P_{2})$ .

Phương pháp giải:

a), (b) Xác định $\vec{n_{1}}$ và $2 \vec{n_{2}}$ , $D_{1}$ và $2 D_{2}$ rồi so sánh.

b) Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{n_{1}} = 2 \vec{n_{2}} = (2; 2; 2)$ .

b) $D_{1} = 1$ ; $2 D_{2} = - 2$ .

Vậy $D_{1} \neq 2 D_{2}$ .

c) $(P_{1}) / / (P_{2})$ .

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 56 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho $m \neq 0$ . Chứng minh rằng các mặt phẳng (P): x – m = 0, (Q): y – m = 0, (R): z – m = 0 lần lượt song song với các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy).

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và A’x + B’y + C’z + D’ = 0 song song nếu:

${\begin{cases} A = k A^{'} \\ B = k B^{'} \\ C = k C^{'} \\ D \neq k D^{'} \end{cases}$

Lời giải chi tiết:

Vecto pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (Q), (R) là:

$\vec{n_{P}} = (1; 0; 0)$ , $\vec{n_{Q}} = (0; 1; 0)$ , $\vec{n_{R}} = (0; 0; 1)$ .

Vecto pháp tuyến của các mặt phẳng (Oyz): x = 0, (Ozx): y = 0, (Oxy): z = 0 là:

$\vec{i} = (1; 0; 0)$ , $\vec{j} = (0; 1; 0)$ , $\vec{k} = (0; 0; 1)$ .

Do $\vec{i} = \vec{n_{P}}$ và $m \neq 0$ nên (P) // (Oyz).

Do $\vec{j} = \vec{n_{Q}}$ và $m \neq 0$ nên (Q) // (Ozx).

Do $\vec{k} = \vec{n_{R}}$ và $m \neq 0$ nên (R) // (Oxy).

HĐ9

Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 56 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng $(P_{1})$ có phương trình tổng quát là $x + 2 y + z + 1 = 0$ và mặt phẳng $(P_{2})$ có phương trình tổng quát là $3 x - 2 y + z + 5 = 0$ .

Gọi $\vec{n_{1}} = (1; 2; 1), \vec{n_{2}} = (3; - 2; 1)$ lần lượt là vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng $(P_{1})$ , $(P_{2})$ . Hai vecto $\vec{n_{1}}$ , $\vec{n_{2}}$ có vuông góc với nhau hay không?

Phương pháp giải:

$\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 0$ .

Lời giải chi tiết:

$\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 1.3 + 2. (- 2) + 1.1 = 0$ suy ra $\vec{n_{1}}$ , $\vec{n_{2}}$ vuông góc với nhau.

LT10

Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 57 SGK Toán 12 Cánh diều

Chứng minh rằng hai mặt phẳng (Ozx) và (P): a + 2z – 3 = 0 vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh tích vô hướng hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Ozx) là $\vec{j} = (0; 1; 0)$ .

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (1; 0; 2)$ .

Ta có $\vec{j} . \vec{n} = (0.1 + 1.0 + 0.2) = 0$ nên $\vec{j} ⊥ \vec{n}$ .

Vậy $(O z x) ⊥ (P)$ .