Giải mục 4 trang 62

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AA′⊥(ABCD)AA′⊥(ABCD)AA' \bot \left( {ABCD} \right).

Hoạt động 6

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ .

a) Tìm hình chiếu $d$ của $A^{'} C$ trên mặt phẳng $(A B C D)$ . Xác định góc giữa $A^{'} C$ và $d$

b) Tìm hình chiếu $a$ của $A^{'} C^{'}$ trên mặt phẳng $(A B C D)$ . Xác định góc giữa $A^{'} C^{'}$ và $a$

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $A^{'} A ⊥ (A B C D)$ từ đó suy ra $A^{'}$ là hình chiếu của $A$ trên $(A B C D)$

b) Chứng minh $C C^{'} ⊥ (A B C D)$ từ đó suy ra $C^{'}$ là hình chiếu của $C$ trên $(A B C D)$

Lời giải chi tiết:

a) Vì $A^{'} A ⊥ (A B C D)$ nên $A$ là hình chiếu của $A^{'}$ trên $(A B C D)$

Vậy hình chiếu $d$ của $A^{'} C$ trên $(A B C D)$ là $A C$

Góc giữa $A^{'} C$ và $A C$ là góc $\hat{A^{'} C A}$

b) Vì $A^{'} A ⊥ (A B C D)$ nên $A$ là hình chiếu của $A^{'}$ trên $(A B C D)$

Vì $C C^{'} ⊥ (A B C D)$ nên $C$ là hình chiếu của $C^{'}$ trên $(A B C D)$

Vậy hình chiếu $a$ của $A^{'} C^{'}$ trên $(A B C D)$ là $A C$

Vì $A^{'} C^{'} / / A C$ nên góc giữa $A^{'} C^{'}$ và $A C$ bằng $0^{o}$

Luyện tập 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ , $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ , $S A = a \sqrt{3}$ . Xác định và tính góc giữa đường thẳng $S D$ và $(S A B)$

Phương pháp giải:

Xác định giao điểm $S$ của $S D$ và $(S A B)$

Chứng minh $D A ⊥ (S A B)$ từ đó suy ra $S A$ là hình chiếu vuông góc của $S D$ trên $(S A B)$ suy ra góc cần tìm là góc giữa 2 đường thẳng $S D$ và $S A$

Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Ta có $S$ là giao điểm của $S D$ và $(S A B)$ $(1)$

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A ⊥ A D$ .

Vì $A B C D$ là hình vuông lên $A D ⊥ A B$

Ta có ${\begin{cases} A D ⊥ S A \\ A D ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A D ⊥ (S A B) \Rightarrow$ $A$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $(S A B)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $S A$ là hình chiếu vuông góc của $S D$ trên $(S A B)$

Vậy góc giữa $S D$ và $(S A B)$ là góc giữa $S A$ và $S D$ là góc giữa $\hat{D S A}$

Xét $Δ S A D$ vuông tại $A$ có $\tan S = \frac{A D}{S A} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \hat{A S D} = 30^{o}$